3.三个正数的算术-几何平均不等式教案和学案内容

重庆市合川太和中学高2019级数学“五环节”教学导学案 学生姓名 §1.1.3

三个正数的算术——几何平均不等式

【学习目标】

1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题. 2.能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简单的实际问题. 【学习重点】

运用三个正数的算术——几何平均不等式解决问题.

【学习难点】

灵活运用三个正数的算术——几何平均不等式解决问题.

【学习过程】

一、自学

课前自学课本P8—P9，然后回答下面问题：

1．定理1: 如果a,bR, 那么a2b22ab. 当且仅当 时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式): 如果a,bR当且仅当 时, 等号成立. 讨论: ⑴给图如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗? ⑵怎样用语言表述基本不等式? ⑶在应用基本不等式时要注意什么? 推论: 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均2abDab, 那么2ab. AaOCbB数 , 调和平均数ab， 从小到大的排列是: 3探究：

类比基本不等式：如果a,bRab, 那么2ab.当且仅当ab时, 等号成立. 如果a,b,cR,那么 .当且仅当 时, 等号成立. 4.如何证明这个猜想呢？是否可以类比基本不等式的证明过程？

设a，b，c为正数，证明a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时等号成立). 证明：

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重庆市合川太和中学高2019级数学“五环节”教学导学案 学生姓名 6.定理3:如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c33≥abc，当且仅当 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的 不小于它们的 . 5.应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？

(1)不等式a＋b＋c33≥abc成立的条件是： ，而等号成立的条件是：当且仅当 . (2)定理3可变形为：①abc≤ ；②a3＋b3＋c3≥ . (3)三个及三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正、二定、三相等”．

7．定理3的推广

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当 时，等号成立．

n二、互学（约7分钟）

（一）组内交流（约3分钟）

在组长的组织下，交流“自学”中的7个问题，要求每人必须发言，最后小组推荐一位代表发言. （二）全班交流（约4分钟）

各组代表全班交流展示发言。办法：随机抽三个组的代表发言，分别回答1—3、4—6和第7个问题，其余组补充完善. 三、导学（约12分钟）

教师精讲点评，学生作好相应记录. 类型一

用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式

例1 3已知x,y,zR,求证：（xyz）27xyz

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重庆市合川太和中学高2019级数学“五环节”教学导学案 学生姓名 类型二

利用三个正数的算术——几何平均不等式求最值

2(1)当0x1时,求函数yx(1x)的最大值.

例2 2(2)当0x1时,求函数yx(1x)的最大值.

类型三

应用三个正数的算术——几何平均不等式解决实际问题

例3.将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?

四、自测（约12分钟）

1.已知x∈R＋，求函数y＝x2·(1－x)的最大值.

11912.证明(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋

a＋c≥2(a，b，c∈R＋). 

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重庆市合川太和中学高2019级数学“五环节”教学导学案 学生姓名

3.设圆锥的母线长为1，试问圆锥的底面半径为多少时，圆锥的体积最大？

（二）组内交流（约3分钟）

先两人一组互批，然后组内交流.

（三）全班展示（约4分钟）

抽一个小组的代表发言，其余的组和教师补充完善.

五、反思（约2分钟）

1．通过学习，你达到本节课的“学习目标”了吗?

2．通过本节学习，你最大的收获是什么？请概括说明．

【课后作业】

1．看书复习梳理

2．书面作业

必作：课本习题P9第6，7，11，12，13，14题

选作：课本习题P9第8，15题

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