2.基本不等式教学活动设计方案

3.4基本不等式教学设计

【学习目标】

1．理解基本不等式的内容及证明．

2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小．

3．会初步运用基本不等式证明简单的不等式．

4. 经历探究过程，感悟数形结合的数学思想. 【新课探究】

探究一：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

问题1：设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为_________;面积为_________,4个直角三角形的面积和是___________. 问题2：根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一个怎样的不等式____________________ 问题3：4个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？

问题4：你能给出它的证明吗？

归纳小结：（重要不等式），对于任意的实数a,b,都有____________;当且仅当_________________。

探究二：

问题5：既然对于任意的实数a,b,都有a2＋b2 ≥2ab,如果a>0，b>0，用a，b分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？

a＋b问题6：如何证明不等式ab≤2(a>0，b>0)?

归纳小结：

若a>0,且b>0,那么__________________________________________,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）。

问题7：如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点a＋bQ作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图形得出基本不等式ab≤2的几何解释吗？

定理解读：（1）基本不等式的几何意义：

（2）平均数解释：

（3）定理成立的条件是___________；结论是_____________。

巩固练习：

例1

已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2

≥ ab＋bc＋ca.

变式练习1：已知a，b，c为不全相等的正数，求证：

总结：

例2

已知x、y都是正数．求证：yxx＋y

≥ 2.

变式练习2：

已知a0,求a+3的最小值.

a

总结：

a＋b＋c>ab＋bc＋ca

课堂练习：

11．已知a>0，则4a+a的最小值是

A．2

B．22

（

)

C．4

D．5 2．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是 A．6

B．42

C．26

(

)

D．8

【课堂知识再梳理】我学到了什么?

1．重要不等式

如果a，b∈R，那么a2＋b2

≥ 2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．

a＋b2．基本不等式ab≤2

(1)基本不等式成立的条件：________________ . (2)等号成立的条件：当且仅当___________时取等号．

3．算术平均数与几何平均数

a＋b(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为______；

(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数 _______它们的几何平均数．

4．基本不等式的常用推论

ab2a2b2)(a,bR)；

(1)

ab(22ba(2)a＋b

≥ _____. (a，b同号)；

baba(3)当ab>0时，a＋b

≥ ____；当ab<0时，a＋b

≤ ____. ；

(4)a2＋b2＋c2 ___ ab＋bc＋ca

(a，b，c∈R).

课后探究作业：

探究函数f(x)ax(a0,b0)的最值. bx