3.2.2 复数代数形式的乘除运算第一课时教学设计

一师一优课

教学设计

安徽省六安市舒城县桃溪中学

喻

平

选修1-2

第三章

数系的扩充和复数的引入

3．2.2

复数代数形式的乘除运算

课型

新授课

教学目标

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3．理解共轭复数的概念．

教学重点

复数代数形式的乘法和除法运算及共轭复数的概念．

教学难点

复数代数形式的乘法和除法运算

教具准备

多媒体

教学过程与教学内容

一、日清检测：

1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，类似于把i看成未知数的多项式的加减运算．

2．对于两个非零复数z1和z2，|z1±z2|___|z1|＋|z2|. 二、自主学习：

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________. 2．复数乘法的运算律

对任意复数z1、z2、z3∈C，有

交换律

z1·z2＝______

结合律

(z1·z2)·z3＝_______

乘法对加法的分配律

z1(z2＋z3)＝__________

3.共轭复数

如果两个复数满足___________________________时，称这两个复数为共轭复数．z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi，则z＝_____. 4．复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

z1a＋bi则＝＝__________________________．

z2c＋di三、合作探究：

1．z·z与|z|2和|z|2有什么关系？

提示：z·z＝|z|2＝|z|2. 2．z2与|z|2有什么关系？

提示：当z∈R时，z2＝|z|2，当z为虚数时，z2≠|z|2，但|z|2＝|z2|. 3．对于复数z，z·0＝0成立吗？

提示：仍然成立．

(1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等．

(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．

例1

计算：(1)(2＋i)(2－i)；

(2)(1＋2i)2；

1＋i62＋3i(3)()＋

1－i3－2i【思路点拨】

前2个小题按复数的乘法法则，能用乘法公式的要利用乘法公式，第(3)题是含幂运算的问题，可用i的性质．

【解】

(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；

(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i；

1＋i262＋3i3＋2i(3)原式＝[]＋

232＋22＝i6＋6＋2i＋3i－6＝－1＋i. 5【思维总结】

对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号．

1变式训练1

计算(1－i)2＋2i＋(3＋i3)＋的值．

i解：原式＝－2i＋2i＋3－i－i＝3－2i. z·z＝|z|2，体现了复数与实数的转化．

z∈R⇔z＝z；若z≠0，z＋z＝0，则z为纯虚数．

例2

已知z＝x＋yi(x、y∈R)且z＝1z1z，(z＋1)(z＋1)＝x2＋y2，求复数z.

【解】

∵z＝即x2＋y2＝1. ，∴z

z＝1，∴|z|＝1，

又∵(z＋1)(z＋1)＝x2＋y2，

∴z·z＋z＋z＋1＝1，

1∴2x＋1＝0，∴x＝－. 233由x2＋y2＝1，得y2＝，∴y＝±. 4213∴z＝－±i.

22【思路点拨】

z＝1z⇒z

z＝1⇒|z|＝1，从而展开(z＋1)(z＋1)可求．

【思维总结】

本题充分利用了共轭复数的有关性质，使问题直接化简为2x＋1＝0而不是直接把z＝x＋yi代入等式．

虚数单位i的周期性：

(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．

(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．

n也可以推广到整数集．

四、当堂检测：

计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010. 【思路点拨】

解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．

i1－i2010i[1－i21005]【解】

法一：原式＝＝

1－i1－ii·1＋12i1＋i＝＝

21－i＝－1＋i.

法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，

∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，

∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010) ＝i－1＋0＝－1＋i. 【思维总结】

等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．

变式训练2

已知x、y∈R，若2x＋(5－y)i和3x－1－(y＋1)i是共轭复数，求复数z＝x＋yi和z.

解：因为2x＋(5－y)i和3x－1－(y＋1)i是共轭复数，

2x＝3x－1，x＝1，所以解得

5－y＝y＋1，y＝2.

所以z＝1＋2i，z＝1－2i.

五、课堂小结、方法技巧：

1．复数的乘法运算法则的记忆

复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．

2．复数的除法运算法则的记忆

复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.如例1(3) 3．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．

4．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

5．记住以下结果，可提高运算速度．

①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. 1－i1＋i②＝－i，＝i. 1＋i1－i1③＝－i.

i失误防范

1．z1＋z2＝0只是z1与z2共轭的必要条件．

2．在复数的乘除法中，注意要把i2化为－1后再化简．