二 一般形式的柯西不等式教案3

柯西不等式

目的要求： 重点难点： 教学过程：

一、引入：

除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，

其中等号当且仅当adbc时成立。

证明：

几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a,b），B（c,d），那么它们的数量积为acbd，

而||a2b2，||c2d2，

所以柯西不等式的几何意义就是：||||||，

其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2

分析：

思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？

4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，n）为任意实数，则：aii1n2bi(aibi)2，其中等号当且仅当2i1i1nnbb1b2n时a1a2an成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

证明：构造二次函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2

即构造了一个二次函数：f(x)(ai)x2(aibi)xbi

222i1i1i1nnn由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，

nnn即：4(aibi)4(ai)(bi)0，

222i1i1i12即：(ab)iii1n(ai)(bi)，

22i1i1nn等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0，

即等号当且仅当。

n）bb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，a1a2an如果ai（1in）全为0，结论显然成立。

柯西不等式有两个很好的变式：

2(ai)2ai变式1

设aiR,bi0(i1,2,,n),

，等号成立当且仅当

bbi1iinbiai(1in)

2ai(ai)变式2

设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立babi1iiin当且仅当b1b2bn。

二、典型例题：

例1、已知a2b21，x2y21，求证：|axby|1。

2222例2、设a,b,c,dR，求证：abcd(ac)2(bd)2。

例3、设,,为平面上的向量，则||||||。

例4、已知a,b,c均为正数，且abc1，求证：方法1：

方法2：（应用柯西不等式）

1119。

abc1n例5：已知a1，a2，…，an为实数，求证：ai(ai)2。

ni1i12n分析：

推论：在n个实数a1，a2，…，an的和为定值为S时，它们的平方和不小于当且仅当a1a2an时，平方和取最小值

三、小结：

12S，n12S。

n

四、练习：

n1、设x1，x2，…，xn >0, 则i1xi1xini1nxi

n1xi

2、设xiR（i=1，2，…，n）且1

求证: i11xixi1ni21ijnxxij．

3、设a为实常数,试求函数f(x)sinx(acosx)

(x∈R)的最大值．

4、求函数f(x)asinxbcosx在(0,

五、作业：

22221、已知：ab1，mn2,证明：2ambn2)上的最大值,其中a，b为正常数．

2。

提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。

2222、若

x,y,zR，且xyz=a，xyz=12a

(a0)，求证：x,y,z

都2是不大于2a的非负实数。

312a

21222可得 2x2(ay)x(ay)a0

2∵

xR ∴△≥0 即

4(ay)28y2(ay)2a20

2222证明：由zaxy 代入xyz=12 化简可得

：3y2ay0 ∵

a0

∴0y2a

3

同理可得：0x22a

，

0za

33由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。

3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。

4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求419的最小值。

xyz

5、设x，y，zR，求2xyzx2yz222的最大值。

6、ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。

解：s=45615

22ABC面积=s(sa)(sb)(sc)且ABC=PAB+PBC+PAC 15753157

222241571157

(4x5y6z)4x+5y+6z=4226FzxAD4PyC由柯西不等式

(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62) 1527222(x+y+z)77 4x2+y2+z2E5B225

4422224447、设三个正实数a,b,c满足(abc)2(abc)，求证：

a，b，c一定是某三角形的三边长。

8、求证n(n3)个正实数a1，a2，…，an满足

(a1a2an)2(n1)(a1a2an)

x19、已知x,y,zR,且2x222444x2y2z2: 1。

2x2y2z10、设x,y,zR,x2y2z2: 2221。

222yzyzzxzxxyxy123的最小值．

xyz11、设x,y,zR,且x+2y+3z=36,求

