2.基本不等式教学设计案例

《基本不等式》教学设计方案

【教学目标】 1、知识与技能目标

ab,认识其运算结构； 2（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；

（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标

（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；

（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标

（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；

（2）体会多角度探索、解决问题。

【能力培养】

培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

ab应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab的2证明过程。

【教学难点】

ab基本不等式ab等号成立条件。

2【教学方法】 教师启发引导与学生自主探索相结合

【教学工具】 课件辅助教学、实物演示实验

【教学流程】

（1）掌握基本不等式ab实物演示

引入课题

观察、发现问题

总结问题

课堂小结

引例练习

验证证明

【教学过程设计】

一、

创设情景，引入新课

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，

这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相等和不等关系？

赵爽弦图

1．探究图形中的不等关系

问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

我们考虑4个直角三角形的面积的和是S12ab，正方形的面积为S2a2b2。

由图可知S2S1，即a2b22ab．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab。

新知：若a,bR，则ab2ab

问题2：你能用代数的方法给出它们的证明吗？

22222证明：因为ab2ab(ab)0，即ab2ab.（当ab时取等号）

22（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为 a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

4．基本不等式

1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得ab2ab，通常我们把上式写作：abab(a>0,b>0)

2ab

22）从不等式的性质推导基本不等式ab用分析法证明：

要证 abab (1) 2只要证 ab2ab (2) 要证（2），只要证 a+b-2ab0 （3）

要证（3），只要证 （a-b）2

0 （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

ab的几何意义

2如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。

ab你能利用这个图形得出基本不等式ab的几何解2释吗？

ab引导学生发现：表示圆的半经，ab表示半弦长CD,2ab得到不等关系：ab≤(a0,b0) 2易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 3）理解基本不等式ab即ＣD＝ab. ababab，其中当且仅当，显然，它大于或等于CD，即22点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 几何意义：半弦长不大于半径长。

ab我们称ab为正数a,b的几何平均数，称为正数a,b的算术平均数。

2代数意义：几何平均数小于等于算术平均数

这个圆的半径为还可以用它们下面的等价变形来解决问题：①ab2ab

,②

ab(ab2). 2【板书】两个重要不等式

若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2

二、学以致用，我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢？

例1：（1）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（2）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

例2：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?

练习1：已知x0,y0且2x3y6，求xy的最大值。

练习2：若x1，求yx1的最小值

x1

【板书】利用基本不等式求最值时，一定要注意三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可

收获：对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当ab时，xy有最大值．

4条件

一正

二定

三相等

口诀

积定和最小

和定积最大

三、课堂小结

1.本节课我们学习的主要内容是什么？

2.在应用基本不等式时，需要注意哪几点？

四、作业

课本10页习题A组12,13