3.1.2 复数的几何意义优秀获奖教案

3.1.2 复数的几何意义

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．

2．过程与方法

渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．

●重点难点

重点：复数的几何意义及复数的模．

难点：复数的几何意义及模的综合应用．

树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．

(教师用书独具)

1

●教学建议 建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．

●教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．

1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及课标解读

它们之间的一一对应关系．(重点) 2．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)

【问题导思】

复平面

1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？

【提示】

一一对应．

2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？

【提示】

一一对应．

3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？

【提示】

一一对应．

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴

2

上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

【问题导思】

复数的几何意义

→1．平面直角坐标系中的点Z与向量OZ有怎样的对应关系？

【提示】

一一对应．

2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？

【提示】

一一对应．

一一对应

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→

复平面内的点Z(a，b)．

→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→

平面向量OZ. →为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数．

一一对应

复数的模

→22

向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且r＝a＋b(r≥0，且r∈R).

复平面内的点同复数的对应关系

2

实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m)i的点

(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．

【思路探究】

找出复数z的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件．

【自主解答】

复数z＝2m＋(4－m)i对应复平面内点的坐标P为(2m,4－m)．

2m＝0，(1)若P在虚轴上，则24－m≠0，22

即m＝0. 2m＜0，(2)若点P在第三象限，则24－m＜0，

解得m＜－2. ∴当点P位于第三象限时，实数m的范围是(－∞，－2)．

3

1．复数z＝a＋bi(a，b∈R复平面内的点(a，b)．

2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部．

在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m. (1)在实轴上；(2)在直线y＝x上．

【解】

(1)若点在实轴上，则4－m＝0，即m＝±2.

(2)若点在直线y＝x上，则4－m＝2m，解得m＝－1±5.

22

复数的模的求法

已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. 【思路探究】

设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b. 【自主解答】

法一

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a＋b，

代入方程得a＋bi＋a＋b＝2＋8i，

2222a＋a2＋b2＝2，∴b＝8，a＝－15，解得b＝8.

∴z＝－15＋8i. 法二

原式可化为

z＝2－|z|＋8i，

∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，

于是|z|＝2－|z2＋8，

2即|z|＝68－4|z|＋|z|，∴|z|＝17. 代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.

计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．

1求复数z1＝6＋8i及z2＝－－2i的模，并比较它们的模的大小．

2【解】

|z1|＝36＋64＝10，|z2|＝1－222＋－22

4

＝

13＋2＝，|z1|>|z2|. 42

复数的模及其几何意义

13

已知复数z1＝－3＋i，z2＝－－i，

22(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小．

(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？

【思路探究】

(1)利用复数模的定义来求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a＋b. (2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形．

【自主解答】

(1)|z1|＝|z2|＝1－2222－33222＋1＝2. 2＋－＝1. ∵2＞1，∴|z1|＞|z2|. (2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，

则1≤|z|≤2.

因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．

1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．

2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．

3．|z1－z2|表示点z1，z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆．

如果将本题中|z2|≤|z|≤|z1|，改为|z2|＜|z|＜|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？

5

【解】

|z2|＜|z|＜|z1|⇒1＜|z|＜2，则复数z的轨迹为以原点O为圆心，1、2为半径的圆别环且不包括边界，注意区.

因对复数的模理解不到位而导致错误

试研究方程x－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．

【错解】

将方程变为|x|－5|x|＋6＝0⇒|x|＝2或|x|＝3⇒x＝±2或x＝±3，故共有4个．

【错因分析】

这里常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x|是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x也不能写成|x|. 【防范措施】

(1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数．

(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．

(3)理解|z|的意义及|z|的计算方法．

(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解．

【正解】

设x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为

2222a2－b2－5a2＋b2＋6＋2abi＝0 a2－b2－5a2＋b2＋6＝0，⇒2ab＝0⇒a＝±2，b＝0

a＝0，

或a＝±3，b＝0

或b＝±1，

即x＝±2或x＝±3或x＝±i.

故方程在复数集上的解共有6个．

1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为

6

起点的向量一一对应．

2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．

1．(2013·福建高考)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【解析】

z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．

【答案】

C →→2．若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数为(

) A．0 C．－3i →【解析】

由复数的几何意义可知OZ对应的复数为－3i. 【答案】

C 3．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．

【解析】

由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，

得x＝3，y＝－4，

而|1－5i|＝1＋5＝26，

|x－yi|＝|3＋4i|＝3＋4＝5，

|y＋2i|＝|－4＋2i|＝∵20<5<26，

∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|. 【答案】

|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i| 4．在复平面内指出与复数z1＝－1＋2i，z2＝2－i，z3＝－i，z4＝3＋3i对应的点－2222B．－3 D．3 ＋2＝20. 2Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．

【解】

由题意知Z1(－1，2)，

7

Z2(2，－1)，Z3(0，－1)，Z4(3，3)．如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，OZ3→，.OZ4→

一、选择题

1．过原点和3－i对应点的直线的倾斜角是(

) A.

【解析】

∵3－i在复平面上的对应点是(3，－1)，

π

6B．－π2π

C.

635πD．

6

－1－035∴tan α＝＝－(0≤α<π)，∴α＝π. 363－0【答案】

D 2．复数z＝(a－2a)＋(a－a－2)i对应的点在虚轴上，则a的值为(

) A．a＝0或a＝2 C．a≠1且a≠2

2222B．a＝0 D．a≠1或a≠2

2【解析】

∵复数z＝(a－2a)＋(a－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a－2a＝0，∴a＝0或a＝2. 【答案】

A 3．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝(

) A．1 C．1或－1 【解析】

由题意得，a＋4＝4＋1⇒a＝1⇒a＝±1. 【答案】

C 4．复数z与它的模相等的充要条件是(

) A．z为纯虚数 C．z是正实数 B．z是实数

D．z是非负实数

22B．－1 D．±1或0

8

【解析】

设z＝a＋bi，则|z|＝a＋b，又z＝|z|，即a＋b＝a. ∴b＝0，a≥0，即z是非负实数．

【答案】

D 5．设复数z＝(2t＋5t－3)＋(t＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(

) A．复数z对应的点在第一象限

B．复数z一定不是纯虚数

C．复数z对应的点在实轴上方

D．复数z一定是实数

【解析】

∵2t＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，

∴方程有两根，2t＋5t－3的值可正可负，∴A、B不正确．

又t＋2t＋2＝(t＋1)＋1>0，∴D不正确，

∴C正确．

【答案】

C 二、填空题

116．复数z＝log3＋ilog3对应的点位于复平面内的第________象限．

2211【解析】

∵log3<0，log3<0，

22∴z对应的点在第三象限．

【答案】

三

7．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________. 【解析】

设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已－5＋1a＋1知可得＝，从而可得a＝5. 3－1－2－1【答案】

5 8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是________．

【解析】

由题意得22222222222x－2＋x－2<10，

∴5x－6x－8<0，∴(5x＋4)(x－2)<0，

4∴－

(－，2) 5三、解答题

9．在复平面内，若复数z＝(m－m－2)＋(m－3m＋2)i的对应点，

22

9

(1)在虚轴上；

(2)在第二象限；

(3)在直线y＝x上．

试分别求实数m的取值范围．

【解】

复数z＝(m－m－2)＋(m－3m＋2)i的实部为m－m－2，虚部为m－3m＋2. (1)由题意，得m－m－2＝0，

解得m＝2或m＝－1. m－m－2＜0，(2)由题意，得2m－3m＋2＞0.－1＜m＜2，∴m＞2或m＜1.222222

2

∴－1＜m＜1，

即m∈(－1,1)．

(3)由已知，得m－m－2＝m－3m＋2，

∴m＝2. 10．已知z1＝x＋x＋1i，z2＝(x＋a)i对任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围．

【解】

∵|z1|＝x＋x＋1，|z2|＝|x＋a|，且|z1|＞|z2|，

∴x＋x＋1＞|x＋a|对x∈R恒成立，等价于(1－2a)x＋(1－a)＞0恒成立．

1－2a＝0，不等式等价于①：21－a>0，422224222222

21解得a＝，

2112∴a＝时，0·x＋(1－)＞0恒成立．

241－2a＞0，或②：Δ＝－－2a－a＜0.

1解得－1＜a＜. 21∴a∈(－1，)．

21综上，可得实数a的取值范围是{a|a∈R，且－1＜a≤}．

211．如图3－1－1，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：

10

图3－1－1 →→(1)AO表示的复数，BC表示的复数；

→(2)CA所表示的复数；

→→(3)设P为复平面上一点且满足|OP|＝|CA|，求P点的轨迹方程．

→→→【解】

(1)AO＝－OA，而OA对应的复数为3＋2i，

→∴AO表示的复数为－3－2i；

→→→∵BC＝AO.∴BC表示的复数为－3－2i. →→→(2)CA＝OA－OC，

→∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →2(3)设P(x，y)，∵|CA|＝|5－2i|＝5＋－2＝29，

→→→222222|OP|＝x＋y，由|OP|＝|CA|，得x＋y＝29，即点P的轨迹方程为x＋y＝29.

(教师用书独具)

→→

已知向量OZ与实轴正向的夹角为45°，向量OZ对应的复数z的模为1，求z. 【思路探究】

设出z＝a＋bi(a，b∈R)，列出关于a，b的方程组．

【自主解答】

设z＝a＋bi(a，b∈R)．

→∵OZ与x轴正向的夹角为45°，|z|＝1，

11

ba＝1，∴a＋b＝1，a>0，222a＝，2∴2b＝，2∴z＝

ba＝－1，或a＋b＝1，a>0，22

2a＝，2或2b＝－.2

2222＋i或z＝－i. 2222

→

解答本题易因不能正确的运用条件“向量OZ与实轴正向的夹角为45°”，而漏掉一解．

已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sinθ＋i，z2＝－cosθ＋icos 2θ，→其中θ∈(0，π)．设AB对应的复数是z. (1)求复数z；

1(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．

2【解】

(1)∵点A，B对应的复数分别是

22z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，

∴点A，B的坐标分别是A(sinθ，1)，B(－cosθ，cos 2θ)，

→2222∴AB＝(－cosθ，cos 2θ)－(sinθ，1)＝(－cosθ－sinθ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sinθ)，

→2∴AB对应的复数z＝－1＋(－2sinθ)i. 12(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sinθ)，代入y＝x，

21122得－2sinθ＝－，即sinθ＝，

241∴sin θ＝±. 21π5π又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝，∴θ＝或. 266222

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