小结说课稿【一等奖】

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

【学情分析】：

教学对象是高二理科学生，学生已经学会建立回归模型的基本步骤，并有检验回归方程的拟合精确度的方法，并能解决一些实际问题.两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，通过探究使学生体会对回归模型的选择，非线性模型可以通过变换转化为线性回归模型，让学生直观的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系，并通过回归分析体会不同模型拟合数据的效果. 【教学目标】：

（1）知识与技能：了解回归模型的选择；进一步理解非线性模型通过变换转化为线性回归模型；体会不同模型拟合数据的效果. （2）过程与方法：从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，通过学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果，进而归纳出回归分析的一般步骤，并对具体问题进行回归分析，用于解决实际问题. （3）情感态度与价值观：任何事物都是相对的，但又有一定的规律性，我们只要从实际出发，不断探求事物的内在联系，就会找出其中的规律性，形成解决实际问题的方法和能力. 【教学重点】：

1.

加深体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；

2.

了解在解决问题的过程中寻找更好的模型的方法. 【教学难点】：

1.

了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模；

2.

通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 【教学过程设计】：

教学环节

一、复问题一：你能回忆一下回归分析的基本概念及其建立回归模型的基复习建立线性回归模型的基本步教学活动

设计意图

习引入

本步骤？

师：提出问题，引导学生回忆建立回归模型的基本步骤（选变量、骤

画散点图、选模型、估计参数、分析与预测）

二、探问题二：观察例2的图1．1-6中的散点图，红铃虫的产卵数y与引导学生根据散点图判断两个变量的关系，使学生了解不是任何两个变量都一定是只有一种关系. 究新知

温度x的图像特点：随着自变量的增加，因变量也随之增加.这些

点可以除了可以看作是落在指数函数模型上，还可以认为它是落在什么函数的模型上？

样本点还可以看作是分布在二次函数曲线yc1x2c2的周围. 产卵数y/个350产卵数与温度的关系

300250

200150100500202224262830323436

温度

问题三：对模型yc1xc2是否有办法求参数c1和c2的最小二乘估计？

师：从简单的模型入手，逐步引导学生思考把原来两个变量的非线性关系转化为另外两个变量的线性关系

2令tx，建立y与t之间的线性回归方程yc1tc2

2问题四：经过变换后这个模型都转化为线性回归模型，你如何得到这几个线性回归模型的参数估计？

师：提出问题，引导学生分组讨论，启发学生把原变量的观测数据转化为新变量的数据，然后让学生给出每种线性回归模型的参数估计.

让学生知道有时因变量与自变量的非线性关系经过变换后可以转化为500600700800900100011001200t=x^21300变换后样本点的散点图350300250200150100500400y两个新变量间的线

性关系

使学生进一步可看到y与t的散点图并不分布在一条直线的周围，即不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线yc1xc2来拟合2y与x之间的关系，这个结论还可以用残差分析得到. 为比较两个不同模型的残差，需建立相应的回归模型，让学生用线性回归模型拟合回归方程yabt.

编号温度x/°C产卵数y/个t= x2ti2tiyin121722311325214272452966632115735325合计体会把因变量与自192变量的非线性关系569441529625729841102412255414经过变换后转化为19448127984139062553144170728110485761500625465287030875819131251749655506117760398125610918另外两个变量的线t773.429y81.286ˆbti24652870xizinxzxinz22i1nn性关系的方法.

tiyi610918ˆx-202.543ˆzbai1i1n0.367i1所以y0.367t202.543

因为tx2，即y关于x的二次回归方程为

使学生熟悉线性回归模型的参数估计的方法

y0.367x2202.543. 问题五：指数回归模型与二次回归模型中哪个能更好地刻画红铃虫的产卵数y与温度x的关系？通过什么数据说明？

师：提出问题，引导学生回忆评价线性回归模型拟合好坏的标准（相关指数、残差平方和），进一步引导学生探讨如何进行不同模型的比较，介绍计算模型相关指导数和残差平方和的方法，说明一般在参数个数一定的条件下，相关指数越大或残差平方和越小说

明模型拟合得越好. 编号温度x/°C产卵数y/个

3252119.2-60.31.83634.43.10427240.272x3.84312172231111.2-70.3-0.24940.10.035296657.1-15.38.9233.779.01632115735325

合计192

569ˆey关于x的指数回归方程y6.5-74.3ˆiyiyˆie0.55518.4ˆyyˆe0.2722iiix27.429ˆiyy81.286

ˆi21450.68eˆi2yiyi1i1nnyi1n33.1-57.3-9.13281.783.702iy78141.4129.2292.1548.374得出红铃虫的33.7243.70-14.232.920.6257产卵数y与温度x的1136.759396.778141.4200.321084.261450.68模型

R212ˆyyiinyi1i1n0.98

iy2引导学生尝试进行不同模型的比较. 二次函数模型的相关指数

从相关指数的计算结果来看，指数函数模型的R比二次函数模型的R更接近于1，所以指数函数模型的回归效果好. 再从残差图看：

22

从图中可看出指数函数模型的残差点比较均匀地落在水平的带状域中，所以指数函数模型拟合精度较二次函数模型的高. 通过学生自己动手计算感受，归纳判断模型拟合效果的方法：

⑴可以通过变换后的散点图观察两个新变量之间是否存在线性回归方程；

⑵通过残差分析比较两种模型的拟合效果.一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.

三、练习

某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下: x

y

1 2 3 4.05 2.810 2.120 1.630 1.450 1.3100 200 1.21.1

10.15 5.5

2 8 5 1 2 1 0 1 5 检验每册书的成本费y与印刷册数倒数关系，如有，求出y对x的回归方程. 1之间是否具有线性相关x1，题意x分析：本题是非线性回归分析问题，不妨设变量u要求对u与y作相关性检验，如果它们具有线性相关关系，就可以进一步求出y对u的回归直线方程，这时，再回代u了y对x的回归曲线方程. 解：首先作变量置换u10对数据：

u

1 0．5 0．33 y

10.15 5.52 4.08 2.85 0．2 0．1 0．05 2.11 1.62 0．03 1.41 0．02 1.30 0．01 1.21 0．005 1.15 1，就得到x1，题目所给数据变成如下表所示的x然后作相关性检验. 经计算得r0.99980.75，从而认为u与y之间具有线性相关关系，由公式得a1.125，b8.973，所以ˆ1.1258.973yu，

最后回代u四、拓展与提高

18.973ˆ1.125，可得到y对x的回归曲线方程y

xx使学生了解非线性回归模型也有最小二乘估计，但不能给出统一的公式，多数情况下用数值计算的方法. 让学生整理解决本例的思路，鼓励学生探究建立更好思考题：如果两个变量是线性关系时利用最小二乘法得到了两个参数的估计公式，例2中当模型不是线性回归模型时如何估计模型中的参数？

教师提出问题，并指出：最小二乘法的思想同样适用于非线性模型，但不能给出统一的公式，多数情况下用数值计算的方法.

五、小1．

强调要借助散点图的直观性、联想已学过的基本函数图像、以结

及知识间的联系，鼓励学生在建模中大胆尝试；

2．

用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤；

3．

残差分析的步骤、作用. 4．

梳理本节书的知识结构

的模型. 问题背景分析

散点图

线性相关系数

两个变量线性相关

最小二乘法

线性回归模型

相关指数

残差分析

两个变量非线性相关

非线性回归模型

应用