1.1.1 构成空间几何体的基本元素教学实录

辽宁省示范性高中

瓦房店市第八高级中学

高（一

）(数学)组

班级：

姓名：

学号：

2019年

5

月

31

日

1.1.7

柱、锥、台和球的体积

学习目标

1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式．

类型一

柱体、锥体、台体的体积

例1

(1) 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

知识点一

祖暅原理

思考

取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？

－ABC1的体积为____________．

练习1如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1

梳理

祖暅原理的含义及应用

(1)内容：幂势既同，则积不容异．

(2)含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．

(3)应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．

知识点二

柱、锥、台、球的体积公式

名称

柱体

棱柱

圆柱

锥体

棱锥

圆锥

棱台

圆台

球

体积(V)

其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径．

反思与感悟

(1)常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解．

②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

(2)求几何体体积时需注意的问题

柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．

例2．有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm)六角螺帽共重5.8kg，已知螺帽底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（

取3.14，可用计算器）？

1

3

台体

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31

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类型二

球的体积

例3

如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(

)

500πA.

cm3 31 372πC.

cm3 3

反思与感悟

(1)求球的体积，关键是求球的半径R. (2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．

跟踪训练2

一平面截一球得到直径为25 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是(

) A．12π cm3

B．36π cm3

C．646π cm3

D．108π cm3

866πB.

cm3

32 048πD.

cm3

3

5. 圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长10，则圆台的体积为（

）

（A）672π （B）224π （C）100π

（D）544

3

1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为(

)

1133A. B. C. D.

4264

2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为(

) A．1 B．2 C．3 D．4

3．现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降(

) A．0.6 cm B．0.15 cm C．1.2 cm D．0.3 cm 4．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是(

) 64π128πA. B. C．64π D．1282π

33

5．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为________．

6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球的体积是V，则这个正方体的体积是 .

1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面．

2．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题．

2

1．设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长为

5，那么它的体积为（

）

（A）63 （B）3 （C）23 （D）2

2．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP=C1Q，则四棱锥B－APQC

的体积是（ ）

（A）V （B）V （C）

121312V （D）V

43

3．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 .

4. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（

）

（A）3倍 （B）9倍 （C）27倍 （D）33倍

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