2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率第二课时 公开课

课 题

课 型

§2.2.1直线的倾斜角和斜率

概念课

课时

1

执教者

授课时间

陈泳序

2019.5.15

1

1．知识与技能目标

（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

（2）理解直线倾斜角的唯一性．

（3）理解直线斜率的存在性．

（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

2．过程与方法目标

引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法．

3．情感、态度与价值观

（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教

学

目

标

2

3

教学要点

教学重点

直线的倾斜角、斜率的概念

教学难点

直线斜率与倾斜角的关系

互动式探究法

以学生为主体、教师为主导、问题为主线、能力为主攻。具体到本节课将以问题串形式出现，采用互动探究的教学模式．

高一学生刚接触解析几何，但初中部分老师已经提出斜率，外加在上学期学生已经学习正切函数图像及性质，所以本节课需突破斜率与倾斜角的关系

三角板

教学法指导

指导思想

学情分析

教具准备

设计意图

问题情境

教学过程

学生活动

我们知道，两点确定一条直线，那么，经过一点P的直线l的能唯一确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，L．易见，思考后回答

课题引入

答案是否定的，这些直线有什么联系呢？它们都经过点P，它们的倾斜程度不同．在数学中，采取“斜率”描述倾斜程度不同．

提出斜率的概念，体会斜率k在直线方程ykxb一、直线的斜率

通常，我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率．其中，垂直于x轴的直线，斜率不存在．

则直线ykxb是过定点0,b，斜率为k的直线．

例1．把满足下列条件的直线方程写成一次函数的形式．

理解直线的斜率，并通过例题体会直线方程ykxb

中的含义

（1）斜率为k5，且过定点0,3；（y5x3）

（2）斜率为k3，且过定点3,1．（y3x8）

二、直线斜率的公式

下面，我们将探究如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率

y在解析几何基本思想的指引下，用坐标来确定直线的斜率是很自然的问题，学生在有了一次函数ykxby2B(x2,y2)Δy表示直线方程的知识，通过两点坐标求得直线的斜率公式

紧跟教师探究过程，A(x1,y1)在教师引导下，能够x理解公式x2Ox1的推导过程，了解公式的不同如图，直线ykxb被其上任意两个不同的点所唯一确定．如表示形式，并能正确果点Ax1,y1，点

Bx2,y2是这条直线上任意两点，其中x1x2，运用公式求斜率

则由这两点的坐标可以计算出k的值

y1Δx由于x1，y1和x2，y2是直线方程的两组解，方程

y1kx2b

y2kx2b

两式相减，得y2y1kx2kx1kx2x1，因此有：

过两点Ax1,y1，Bx2,y2直线斜率公式：k注：（1）与A，B两点坐标顺序无关

（2）当x1x2时，直线垂直于x轴，式子无意义，k不存在（代y2y1（x1x2）

x2x1

数角度解释存在性）

如果令xx2x1，yy2y1，则x表示变量x的该变量，y表示相应的y的该变量，于是

k

y（x0）

x例2．判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，若存在，求出斜率；若不存在，请说明理由

（1）1,1，2,4；（2）3,5，0,2；

（3）4,4，4,5；（4）10,2，10,2

解：（1）k3；（2）k1；（3）斜率不存在；（4）k0

三、倾斜角

ykxb中的斜率k是从代数角度去描述直线的倾斜程度，那很自然提出从几何角度去研究直线的倾斜程度——倾斜角，并通过问题强调倾斜角的范围及性质

（1、定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角．规定：当直线l与x轴平行或重合时，0o

2、倾斜角的取值范围：0,π

3、唯一性：平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一确定的倾斜角

4、倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，即平行直线的倾斜角相等

5、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何要素：一个点P和一个倾斜角

例3．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为，其中0思考后回答教师所提问题，明确倾斜角的概念，做题反馈存在的问题

π，则直线l倾斜角为 2ππ或）

22

四、倾斜角与斜率的关系

由于ky（x0），所以直线的倾斜角的正切值是这条直x线的斜率，即ktan

例如，倾斜角45o时，这条直线斜率为 （k1）；倾斜角2π时，这条直线斜率为 （k3）

3k通过ktan图象，沟通数形关系，加深倾斜角与斜率的概念，明确两者间的关系，让学生会用函数的观点分析倾斜角与斜率的变化关系

（1）当直线l与x轴平行或重合时，0k0

（2）当直线l与x轴垂直时，根据图象可得

Oπ2πα在教师的引导下完成ktan的图象，总结归纳倾斜角与斜率的关系，通过例题练习加深对ktan的理解并能根据ktan图象求直（3）当是锐角时，ktan0，此时，直线的倾斜角增大，线的斜率、倾斜角的斜率k也随之增大

取值范围

（4）当是钝角时，ktan0，此时直线的倾斜角增大，斜率k也随之增大

存在性：所有直线都存在倾斜角，但不是所有直线都存在斜率

例4．当m为何值时，经过两点Am,2，Bm,m1的直线的倾斜角是

πk不存在

23π．（m3）

4

例5．已知点A1,33，B1,3．若过点P2,23的直线l与线段AB相交．求：

（1）直线l的斜率k的取值范围；（3k3）

3π2π（2）直线l的倾斜角的取值范围．（0,U,π）63

思考：求经过Am,3，B1,2两点的直线l的斜率，并指出倾斜角的取值范围（分类讨论）

k1

m1π

2当m1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为：当m1时，k1π0,

倾斜角的取值范围是：0，m121π,π

倾斜角的取值范围是：0，m12当m1时，k通过总结、反思、交流，帮助学生记忆知识、内化知识

总结：直线斜率的公式、倾斜角的概念、斜率与倾斜角的关系

回忆内容、及时巩固所学知识