1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球优秀说课稿

例说多面体的外接球问题

广州市育才中学

马细惠

多面体的外接球的问题，是立体几何模块的一个重难点，也是全国卷考察的一个高频考点。研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，同时对学生的作图能力、空间想象能力都有较高的要求，所以，大部分学生都被这个球弄得乱七八糟，不知道从何下手。而实际上，常见的外接球问题主要可以归类下列两种情况。

一、规则多面体的外接球问题（可以确定球心的位置）

1、长方体的外接球

易知长方体的外接球的球心是长方体体对角线的交点，假设长方体的长宽高分别为2（2R）=a2+b2+c2

a,b,c，外接球的半径为R，则2、直棱柱的外接球

易知直棱柱的外接球的球心为上下底面的外心的连线的中点，假设外接球的半径为hR，底面小圆的半径为r，棱柱的高为h,则R2=r2()2

23、正棱锥的外接球

正棱锥的外接球的球心必然落在底面的高线上，具体位置可以通过勾股定理求得。假设外22接球的半径为R，底面小圆的半径为r，棱锥的高为h，则满足R=rhR,解出R即2可。

例1、（2014年理科数学）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（

）

A．8127

B．16

C．9

D．

44解析：易知底面正方形的外接圆的半径为2，h4，所以R=rhR2229981=（24+R），求得-R，所以S4=

44422例2、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为（

）

A.161919

B.

C.

D.π

3123解析：由正视图可知原图为直三棱柱，底面三角形的外接圆的半径可用正弦定理求得，2r22h2411922h1R=r()=+=

r，所以，，所以0sin602341231919=

123所以S4小结：

二、可补形的多面体的外接球

1、线面垂直，面上有直角，则将多面体补成长方体即可。

例3、在三棱锥PABC中，BC=4，PA=5，PA平面ABC，ABBC，AB=3，P则三棱锥PABC的外接球的表面积为

．

解析：在长方体中画出该三棱锥，显然长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，且a3,b4,c5，

2（2R）=a2+b2+c2=9+16+25=50，所以S4R2=50

所以ACB例4．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为ADADEBFCFA`EDE______________. F

解析：折起后，顶点处的三条棱两两垂直，所以，可以在长方体中画出该三棱锥，易知长方体的长宽高分别为1,1,2，所以

2（2R）=a2+b2+c2=1+1+4=6，所以S4R2=6

2、线面垂直，面上无直角，则将多面体补成以垂线为侧棱的直棱柱即可。

例5、正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为3，此时四面体ABCD外接球表面积为（

）

A．7

B．19

C．

A7197

D．1966

ADB

D

CBC

解析：易知ADBDC,以AD为侧棱构造如图直棱柱，则直棱柱的外接球即为该四面体的外接球，用正弦定理可求底面三角形的外接圆的半径，2r222而hAD3,所以R=r()=1+1，所以r1，

0sin30h237=，所以S4R2=7

44

例6、（2018年广州调研）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为

A．11

B．

2C．11

D．

A

ABD

BDCC

解析：在长方体中作出原三棱锥，易知CDABD,以CD为侧棱构造如图直棱柱，

,在底面ABD中，ABD=135AD=1+2=5，所以由正弦定理可求得ABD的外接圆的半径，2r022h251115522hCD1R=r()=+=，

，，所以r2244sin135022所以S4R=11

3、无任何垂直，但对棱相等的三棱锥，补成长方体即可

例7、在四面体ABCD中，ABCD10,ACBD5,ADBC13，则四面体的外接球的体积为

. 解析：四面体的三组对棱都相等，如图所示，只需在长方体中将相对的两个面的相对的对角线连起来即可，

假设长方体的长宽高分别为a,b,c，则

DCa2b210，c2b25，a2c213

三式相加可得a2b2+c214，所以

2（2R）=a2+b2+c2=14，所以R2=7

2BA4714所以VR3

33

而实际上，对于两个有两个面互相垂直的多面体，我们有一条通用的公式，l2R2=r12r22()，其中r1，r2为互相垂直的两个面的外接圆的半径，l是2相垂直的两个面的交线的长度，证明如下：

不妨假设两个面互相垂直的面的外接圆的半径分别为r1，r2，

22R2=OC2AC2O1CO2CAC2两个互O1O则

O1AACO2AACAC22222B

CAO2lO1A2O2A2AC2r12r22()22

例8．已知三棱锥

中，平面

平面 ，

则三棱锥

的外接球的表面积为__________．

解析：

，所以

，，所以r

1=22ABCD

在ABD中，

sinABD2231，由正弦定理可得

3AD2336，所以r23

sinABDllBD42,所以R2=r12r22()28989,所以S=4R2=36

22r2小结：

2222重要结论：若多面体中存在面面垂直，则R=r1r2()

l2其中r1，r2为互相垂直的两个面的外接圆的半径，l是两个互相垂直的两个面的交线的长度