2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率名师教学设计2

倾斜角与斜率

学情分析：从学生的知识储备角度来看，学生通过初中的学习，已经掌握直线的相关性质。

必修一对函数的学习，已经形成较好的数形结合的能力，与此同时，必修四中任意角的三角函数值也为本节课倾斜角与斜率的概念的提出奠定一定的基础。

从学生的认知特点来看，高一学生的抽象逻辑思维能力已经明显占优，但对数学问题抽象化的能力还欠缺，初步接触解析几何，对其中蕴含的思想方法还没有切实的体会，因此在教学过程中注重发挥学生的主动性，尽量让不同层次的学生都经历概念的发生，发展过程。

教学目标

1.知识与技能：

（1）通过实例，了解倾斜角与斜率的几何意义；

（2）理解倾斜角与斜率的联系；

（3）会用倾斜角与斜率的联系解决实际问题.

2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力. 3.情感态度价值观：

（1）倾斜角与斜率的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

重点难点

1.教学重点：直线倾斜角与斜率的概念；斜率计算公式

2.教学难点：直线倾斜角与斜率的关系

设计思路：数学核心素养——数学建模——数学文化——理性思维——批判质疑

教学策略与方法

1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．教学中已学生为中心，通过课堂讨论，小组合作的教学模式，鼓励学生勤思善问，以问促思，以问促变，以问促创新能力的提高，发展学生的核心素养。

教学过程：

数学史

设计意图：让学生了解解析几何的由来，直角坐标系，利用坐标法解决几何问题的思想。对今后学习解析几何产生浓厚的兴趣，让学生了解数学来源与生活。

在数学史上，曾有几位数学家，他们想创造一种能解决世界上一切问题的方法，法国著名数学家笛卡尔就是期中一位，他们的设想是：“任何问题——数学问题——代数问题——方程问题——求解方程——得到结论”。因此，如何用代数的方法解决几何问题是他们遇到的难题之一。

据说一天，当笛卡尔躺在床上休息时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，突然苍蝇爬过的地方留下一个小黑点，笛卡尔惊呆了，苍蝇爬过的痕迹不就是自己研究的直线与曲线问题吗？这就产生了解析几何学，有了直角坐标系，点就可以用坐标表示，从而使得用代数方法来研究几何问题有了可能。

数学来愿意生活。

（一）创设情境，揭示课题

从南京长江大桥上的斜拉索抽象出合理化的数学模型，进一步探究直线“陡缓”的决定性因素，初步建立倾斜角的概念，利用几何画板从不同的视觉来分析、讨论斜率产生的过程，并归纳其概念。

南京长江大桥是长江上第一座由中国自行设计和建造的双层式桥梁。

思考：大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索的陡缓程度呢？

探究一：倾斜角概念的形成，体会用坐标刻画倾斜角的方法

问题1:在直角坐标系中，一条直线与x 轴都有一个相对的倾斜度，用哪些量来刻画这种倾斜程度呢？

问题2：当一条直线与x 轴相交会形成四个角，选用哪个角进行研究更方便些呢？

问题3：这个角唯一吗？如果不唯一怎么办？

（学生自己归纳总结出倾斜角的概念）

1、

倾斜角的定义：

在平面直角坐标系中，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

问题4:概念中我们要注意哪几点呢？

学生活动：让学生在学案上自己画出已知直线的倾斜角。

问题5：倾斜角的范围是多少呢？

ylPOx

质疑：学生容易忽略与x轴平行的直线，补出该图，问倾斜角在哪儿？如何规定？

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

0

自然有倾斜角的范围是[00,1800)

通过几何画板展示直线的倾斜角。让学生更加形象的理解倾斜角的范围。

这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。

倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

问题6. 倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，那么用代数中的“数”能否表示直线的倾斜程度呢？

生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）

初中对坡度是如何定义的？

坡度(比)升高量

（即坡角的正切值）

前进量当坡角增大时，坡度如何变化？[来源:学科网ZXXK]

当坡角90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

2、

直线的斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即000ktan(90)

3、

思考：当直线与

x

轴垂直时，直线的倾斜角是多少？

问题6、当在[0,180)内变化时，斜率k如何变化？(板书下图)（几何画板展示关系）

00ylPOx

00<α<900k>0α=900k不存在900<α<1800k<0α=00k=0

问题7. 每条直线都有倾斜角吗？每条直线都有斜率吗？

练习：1、已知下列命题：

①若α是直线l的倾斜角，则00≤α＜1800.

②若k是直线的斜率，则k∈R. ③任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

④任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确的命题有

（

）

A

0个

B

1个

C

2个

D

3个

2、直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则（

）（图见课件）

A k1

B k3

C k3

D k1

探究三：过两点的直线的斜率公式

（三）尝试推导，深化认识

两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。

问题8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1,P2的坐标来表1(x1,y1)，P2(x2,y2)且x1x2，能否用P示直线斜率k？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P12，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，1,P2及直线PP也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

解：设直线PP1作x轴的平行线，过点P2作y轴12倾斜角为（90）当直线PP12方向向上时，过点P的平行线，两线交于点Q，则点Q为(x2,y1)

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2，在RtP1P2Q中，

0

tantanQP1P2QP2P1Qy2y1

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）tan=tan(180)tan，在l1,l2RtP1P2Q中，

tanQP2QP1y2y1yy1yy12（可让学生分组推导）

tan2x2x1x2x1x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tan推导方法2:利用向量法：介绍给学生，下去自己推导。

（四）例题巩固

例1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1) A(3,2), B(-4,1)

(2) B(-4,1),

C(0,-1) 变式: 对于(1) 若求BA两点的斜率呢？

若把B改为D(2,2)呢？

若把B改为D(3,4)呢？

结论：1.斜率公式与P1P2两点的顺序_________. yy1y2y1，即k2

x2x1x2x12.当直线与x轴,y轴平行或重合时，__________________________________.

例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1，– 1 ，2，及

– 3的直线l1，l2，l3及l4。

分析：要画出经过原点的直线，只要再找出l1上的另外一点M，而M的坐标可以根据直线l1的斜率确定。

当堂检测

1．已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

⑴30；

⑵45；

⑶120；

⑷135



2．求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。

⑴C(18,8)，D(4,4)；

⑵P(0,0)，Q(1,3)

3．若直线l的斜率为3，则直线l的倾斜角为

．

4.直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k，则为

角；

k的取值范围

.

5.(1)已知A（

3，2），B（-4,1），C（0，-1），求直线AB,BC,AC的斜率；（2）求经过两点A（2,3），B（m，4）的直线的斜率.

（3）

课后训练题

1、若三点A(5,1)，B(4,2m)，C(m,2)在同一直线上，求整数m的值．

2、已知直线l过点P（-1,2），且与以A（-2，-3），B（3,0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.

（六）归纳小结：

（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线的斜率公式：ktan

y2y1(x1x2)。

x2x1（七）作业：课本P89，习题3.1 [A组] 第2，3，4题。

答案：

（四）例题巩固

1.D

2.D 结论：（1）无关

（2）当直线与x轴平行或重合时:斜率为0，适合斜率公式；

（3）当直线与y轴平行或重合时，斜率公式不满足

当堂检测：

1.（1）k3

（2）k1

（3）k-3

（4）k-1

3⑴C(18,8)，D(4,4)；

⑵P(0,0)，Q(1,3)

6（2）kPQ3,钝角2（.1）kCD,锐角

73.a150

4.a为钝角，k0.

115（.1）kAB,kBC,kAC1.72

(2)当m2时，直线AB的斜率不存在；当m2时，kAB课后训练题

1.m2

1.m2

1-5，

2.-，2