小结优秀教学设计内容

必修5 第三章

《不等式》复习小结

【学习目标及方法】

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；

3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；

5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【重难点】

1、不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

2、利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

【教学过程】

一.本章知识结构

二.知识梳理

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba

(2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd

(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc

ab0,cd0acbd

(5)倒数法则：ab,ab0n11

abn(6)乘方法则：ab0ab(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；

作差法,作商法

3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

22

2设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

axbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

xxx或xx

12bxx

2a 

R 

xx1xx2

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

ab

2abab(当且仅当ab时取""号).

1、如果a,b是正数，那么2ab2、基本不等式ab几何意义是“半径不小于半弦”

2（四）基本不等式ab三.典型例题

例1比较大小

（1）（3－2）2

（6－1）2；

(2)（3＋2） ６＋26；

21

（3））521；

65

2例2已知关于x的方程(k-1)x+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围

x2y2例3已知x、y满足不等式2xy1，求z3xy的最小值.

x0,y0

x－4y≤－3，变式：已知变量x，y满足约束条件3x＋5y≤25，

求z＝2x＋y的最大值和最小值. x≥1，

例4 若x0，y0

，且28xy1，求xy的范围.

变式：.正数x，y满足1x＋9y＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值.

四、课后作业

1．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系为(

) A．a＞b＞－b＞－a

B．a＞－b＞－a＞b

C．a＞－b＞b＞－a

D．a＞b＞－a＞－b

2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(

) A .x|x≤－1，或x≥99992 B.x|－1≤x≤2 C.x|x≤－2或x≥1 D.x|－2≤x≤1

3、x , y满足约束条件

x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(

2x－y＋2≥0.

A.12或－1

B．2或12

C．2或1

D．2或－1 4、已知a>0，b>0且a≠b，则a2b2b＋a与a＋b的大小关系是________________. )

x＋y－7≤0，5、7.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x－y＋3≥0，y≥0.与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(

) A.5

B.29

C.37

D.49

若圆心C∈Ω，且圆C6、某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？

7、求函数y＝x＋2的最大值.（提示：设t＝x＋2，从而x＝t22x＋5－2(t≥0)）