1.3 二项式定理（通用）教案公开课一等奖

[学业水平训练] 1．以下关于独立性检验的说法中，错误的是(

) A．独立性检验依赖于小概率原理

B．独立性检验得到的结论一定准确

C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

D．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法

解析：选B.根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的．

2．对两个分类变量A，B的下列说法中，正确的个数为(

) ①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．

A．0

B．1

C．2

D．3 解析：选B.①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助二维条形图等，也可判定A与B是否相关．故选B. 3．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是(

)

解析：选D.在四幅图中，D图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D. 4．(2014·温州高二检测)对于独立性检验，下列说法正确的是(

) 2A．K>3.841时，有95%的把握说事件A与B无关

B．K2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关

C．K2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B有关

D．K2>6.635时，有95%的把握说事件A与B无关

解析：选B.由独立性检验的知识知：K2>3.841时，有95%的把握认为“变量X与Y有关系”；K2>6.635时，有99%的把握认为“变量X与Y有关系”．故选项B正确．

5．(2014·三明高二检测)为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机抽取了50名学生，得到如下列联表：

喜欢数学

不喜欢数学

合计

13

10

23 男

7

20

27 女

20

30

50 合计

50×13×20－10×72根据表中数据，得到k＝≈4.844>3.841，你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系，23×27×20×30这种判断犯错误的概率不超过(

) A．0

B．0.05

C．0.01

D．1 解析：选B.∵4.844>3.841，根据临界值表可知，认为性别与是否喜欢数学关系，这种判断犯错误的概率不超过0.05. 6．下面是一个2×2列联表：

y1

y2

总计

x1

a 21

73 x2

2

25

27 b 46

100 总计

则表中a，b的值分别为____________．

解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝54.答案：52,54 7．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如下表所示：

死亡

存活

合计

14

11

25 第一种剂量

6

19

25 第二种剂量

20

30

50 合计

进行统计分析时的统计假设是____________．

1

解析：根据独立性检验的基本思想，可知类似反证法，即要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．对本题，进行统计分析的统计假设应是“小白鼠的死亡与剂量无关”．

答案：小白鼠的死亡与剂量无关

8．(2014·嘉兴高二检测)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

理科

文科

合计

13

10

23 男

7

20

27 女

20

30

50 合计

已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 50×13×20－10×722根据表中数据，得到K的观测值k＝≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的23×27×20×30可能性约为________．

解析：∵K2＝4.844>3.841，

∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5% 9．打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据．试问：每晚都打鼾与患心脏病有关吗？用图表分析.

患心脏病

未患心脏病

合计

30

224

254 每晚都打鼾

24

1 355

1 379 不打鼾

54

1 579

1 633 合计

解：由列联表中的信息知打鼾人群中未患心脏病的比例为0.88，即患有心脏病的比例为0.12；同理不打鼾人群中未患心脏病的比例为0.98，即患有心脏病的比例为0.02.作出等高条形图(如下图)．

从该图中可以看出：打鼾样本中患心脏病的比例明显多于不打鼾样本中患心脏病的比例．因此可以认为“打鼾与患心脏病有关”．

10．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．

(1)根据以上数据列出2×2列联表；

(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？

解：(1)由已知可列2×2列联表：

患胃病

未患胃病

总计

20

200

220 生活规律

60

260

320 生活不规律

80

460

540 总计

540×20×260－200×6022(2)根据列联表中的数据，由计算公式得K的观测值k＝≈9.638. 220×320×80×460∵9.638>6.635，

因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．

[高考水平训练] 1．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据是(

) A．k>3.841

B．k<3.841 C．k>6.635

D．k<6.635 解析：选A.将k的值与临界值进行比较．

2

2．(2014·临沂质检)若两个分类变量X与Y的列联表为：

y1

y2

x1

10

15 x2

40

16

则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为____________．

解析：由题意可得K2的观测值

10＋15＋40＋16×10×16－40×152k＝≈7.227，

10＋15×40＋16×10＋40×15＋16∵P(K2≥6.635)≈1%，∴“x与y之间有关系”出错的可能性为1%. 答案：1% 3．(2014·高考辽宁卷)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

喜欢甜品

不喜欢甜品

合计

60

20

80 南方学生

10

10

20 北方学生

70

30

100 合计

(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率. 0.100

0.050

0.010 P(K2≥k)

k 2.706

3.841

6.635 解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

100×60×10－20×1021002K＝＝≈4.762. 2170×30×80×20因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．

其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2；bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．

7事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝. 104．(2013·高考福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

3

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

0.100

0.050

0.010

0.001 P(K2≥k)

k 2.706

3.841

6.635

10.828 2nad－bc附：K2＝

a＋bc＋da＋cb＋d解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2. 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，7(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝. 10(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

生产能手

非生产能手

合计

15

45

60 25周岁以上组

15

25

40 25周岁以下组

30

70

100 合计

nad－bc22所以得K＝

a＋bc＋da＋cb＋d100×15×25－15×45225＝＝≈1.79. 1460×40×30×70因为1.79<2.706，

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

4