1.3 二项式定理（通用）教学设计和教学实录

二项式定理

福州十中

陈立雯

一、案例背景

1．教材分析：

(1)知识内容：二项式定理及简单应用 (2)地位及重要性：二项式定理是安排在排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，也是后继课程某些内容的一个铺垫。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

(3)教学目标

：使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律；能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开

；在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力。

(4)通过学生主动探索的学习过程，使学生清晰的掌握二项式定理的内容，更体会到了二项式定理形成的思考方式，为后继课程（n次独立重复实验恰好发生k次）的学习打下了基础。

2．学生分析：

由于我们的学生思维不够活跃，因此是“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要一直困扰着我，根据学生的实际水平我还是把教学重点放在了定理的掌握上。但在对定理形成的过程中我还是花了大量的时间在引导学生感受这个思维过程，参与到这个过程中来。

3.教学目标：

(一)知识与技能

1.了解“杨辉三角”及其历史，认识“杨辉三角”中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数之间的联系。

2.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项公式等几个特征熟记它的展开式。

3.能运用二项式展开式中的项数、指数、系数等特点，解决与二项式系数有关的问题。

(二)过程与方法

提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想。

(三)情感、态度与价值观

利用“杨辉三角”的历史对学生进行爱国主义教育，提高学生应用数学的意识，培养学生学习数学的兴趣。

4．课前准备：

从旧知识出发，提出新问题，使学生发现旧知识的局限性，感受掌握学习新知识的必要性以及新旧知识的联系。

5.

教学思路：

问题引入——→联系旧知识——→概念的形成——→例题讲解——→练习拓展

6．教学手段：

（1）问题教学法。以问题为中心，通过创设有吸引力的问题情境，激发学生参与的热情；

（2）研讨点拨法。课堂教学以学生自主探究为主，引导学生体会从一般到特殊，从而形成。

7．教学用具：

引进多媒体进行教学。

8．教学课时：1课时

二、教学步骤

教学环节

1、复习提问：

教学内容

师生互动

1、复习引入

1、引导学生感受新旧知知识多项式识的联系，乘法展开也体会学习新不困难，可知识的必要性。

是如果需要

求

指数大2、为学习记的展开式，忆二项式定我们都有什理特征做准备。

么解决办法

呢？引入课3、通过系数题要研究的特征联想杨辉三角，(ab)n(nN再联想到组的展开式的合数的特征。这种联规律。

想在考虑问

题的过程中2、通过观察起了很好的已经写出的作用，它促使思维产生二次和三次飞跃，有利的展开式，于问题得到思考展开式解决．

的项数、每

4、考察学生项的形式、模仿分析的次数、指数能力。

和二项式的利用旧设计意图

(ab)2a22abb2

(ab)3a33a2b3ab2b3

……

问题：求(ab)100？

求(ab)n？

2、观察找规律

(ab)2a22abb2

课

题

引

入

(ab)3a33a2b3ab2b3

思考：（1）项数

（2）每项的形式

（3）次数

（4）指数

3、探究展开式各项系数的特征

(ab)1…………… 1 1 (ab)2………… 1 2 1 (ab)3………1 3 3 1 (ab)4…… 1 4 6 4 1 (ab)5……1 5 10 10 5 1

探究系数和杨辉三角的关系

4、练习

写出(ab)5的展开式

猜想：(ab)n的展开式

次数之间的关系。

3、通过写出各项的系数观察比较杨辉三角。再自然的联想到组合数的特征。

4、板书指导。

1、(ab)n的展开式（二项式定理）

0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)

2、定理特征

(1)上式右边为二项展开式,各项次数都等于二项式的次数

概

念

形

成

(2)展开式的项数为 n+1 项；

(3)字母a按降幂排列,次数由n递减到0，字母b按升幂排列,次数由0递增到n (4)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数

组合数的上标由0递增到n (5)展开式中的第r+1项，

rnrr 即通项Tr1Cnab.

r(6)第r+1项的二项式系数为Cn

1、引导学生通过观察归纳出公式的特征。

2、通过提问的方式讲解定理特征。

1、培养学生归纳推理能力。

讲

解

例1：

展开(12x)

51、选例1的1、例1主要第一小题板

范

例

书来示范解题的步骤，注意点：注意“减号”，公式当中的加号是形教师适时引导学生做好式上的加。

总结归纳。

例2：求(xy)12展开式中的倒数第四项。 2、在理解二项式定理特提示：(xy)12的展开式中共有13项，其中征的基础上解决写出展倒数第四项是第10项。

开式中的任意一项。

3、例3的第

一小题由学例3：求(x2)10展开式的第五项，第五项的生自主完成。教师引系数，以及第五项的二项式系数。

导学生区分二项式的系

数和项的系

数。

4、例4重在入题的角

度。难点在

方程思想的

转化，培养

学生数学思维能力。

1122例4：求(2x)展开式中的常数项

x

变形：(12x)5

让学生掌握二项式定理的基本特征，变形部分考察学生对定理中加号的理解。

2、例2加在考察例1知识点的同时还考察了学生对二项式展开式中项数的掌握情况。

3、例3是让学生区分二项式的系数和项的系数。

4、通过这道例题可以看到，二项展开式通项公式反映了项、项数、系数、指数等数量关系，因而通项公式是解

决二项展开式有关项的问题的关键．在解决这类问题时，必须注意n，r的取值范围及大小关系．要注意体会方程的思想和转化思想的运用．

从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。

归

纳

小

结

1、二项式定理中展开式里的加号是形式上的加。

2、注意区分二项式的系数和项的系数。

r3、通项公式指的是第r+1项，其中Cn称为第

请学生在教师的叙述回顾中再现本节的核心内容。

r+1项的二项式系数

本次作业主要涉及以下重要内容：

1、直接应用二项式定理展开任意的二项式；

2、二项式的系数和项的系数的区通过作业让学生巩固以下三点：

1、二项式定理的掌握；

2、细节概念的巩固；

3、数学思维的锻炼。

课

后

作

业

1、P35 1、6 2、求展开式(2a-b)的第4项，第4项的二项式系数及第四项的系数

3、求展开式中的常数项及中间两项

6

别。

3、体会方程的思想和转化的思想。

三．案例反思

本节课根据“情境 --问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程

。本课中，教师立足于所创设的情境，通过引导学生自主探索，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为二项式定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。然而教学实验表明，学生能否提出数学问题，解决数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学***，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问

题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

本节课在合作交流的方式上发现一些问题：(1)学生分小组讨论交流的情况不够好，彼此之间沟通不足。(2)学生之间优劣程度差别很大，在很多问题刚提出来优生就给出答案，使得大部分中等以下学生缺少思考锻炼的机会，也很难跟上后面的知识内容。