复习参考题教学实录与评析

线性回归方程

【目标引领】

1．学习目标：

了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握

回归直线方程的求解方法。

2．学法指导：

①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．

②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．

③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．

【教师在线】

1．解析视屏：

1．相关关系的概念

在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：

一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S与其边长x之间的函数关系Sx2（确定关系）；

一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）

相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

相关关系与函数关系的异同点：

相同点：均是指两个变量的关系。

不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

2．求回归直线方程的思想方法

观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？

引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：

ˆbxa，其中a、b是待定系数。

设所求的直线方程为yˆibxia(i1,2,,n)，于是得到各个偏差。

则yˆyˆiyi(bxia),(i1,2,...n)

y

ˆyˆi的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能显见，偏差y代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和

Q(y1bx1x)2(y2bx2a)2....(ynbxna)2

表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。

记Q(yi1n2ibxia)。

上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即

nxiyinxyi1bn22

xnxii1aybx1n1n其中xxi,yyi

ni1ni1以上方法称为最小二乘法。

2．经典回放：

例1：下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？

（1）电压U与电流I （2）圆面积S与半径R （3）自由落体运动中位移s与时间t （4）粮食产量与施肥量

（5）人的身高与体重

（6）广告费支出与商品销售额

分析：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。 解：前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化，两者之间是函数关系。

对于粮食与施肥量，两者确实有非常密切的关系，实践证明，在一定的范围内，施肥量越多，粮食产量就越高，但是，施肥量并不能完全确定粮食产量，因为粮食产量还与其他因素的影响有关，如降雨量、田间管理水平等。因此，粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。

人的身高与人的体重也密切相关，一般来说，一个人的身高越高，体重也越重，但同样身高的人，其体重不一定相同，身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。

广告费支出与商品销售额有密切的关系，但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。

点评：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。

例2：已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：

44444354355 2 6 8 2 5 8 0 9 0 6697659667y .53 .30 .25 .50 .99 .90 .49 .20 .55 .72 ｘ（血球体积，ｍｍ），ｙ（血红球数，百万）

(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形。

解：（１）见下图

ｘ

y105303540455055x

（２）x1(45424648423558403950)45.50

10y1(6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)7.37

10ˆbxa，

设回归直线为y则axyii1nninxy0.176，byax0.64

i1xinx22ˆ0.176x0.64，图形如下: 所以所求回归直线的方程为yy105303540455055x

点评：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数x,y；计算xi与yi的积，求程。

xyii；计算xi；将结果代入公式求ａ；用

byax求ｂ；写出回归方2

【同步训练】

1 .

下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（

）

A．角度和它的余弦值

B.正方形边长和面积

C．正ｎ边形的边数和它的内角和

D.人的年龄和身高

2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x，则下列说法中正确的是 （ ）

A．劳动生产率为1000元时，月工资为130元

B．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元

C．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元

D．月工资为210元时，劳动生产率为2000元

3．设有一个回归方程为y=2-1.5x，则变量x每增加一个单位时，y平均 （ ）

A．增加1.5单位 B．增加2单位 C．减少1.5单位 D．减少2单位 4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在 kg左右。

5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：

施化肥15 20 25 30 35 40 45 量x 水稻产33343640444545量y 0 5 5 5 5 0 5 (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 【拓展尝新】

6．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：

时间5 t(s) 深度6 y(μm) (1)画出散点图；

(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。

0 0 3 6 7 9 3 5 9 6 0 15 10 10 10 10 10 20 20 220 41123456791【解答】

1． D 2．C 3．C 4．69.66 5．解：(1)散点图（略）．

(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格

i 1 2 3 xi

yi

xiyi

15 330 4950 20 345 6900 25 365 9125 4 30 5 35 445 15575 6 40 450 18000 7 45 455 20475 405 12150

x30,y399.3,xi27000,yi21132725,xiyi87175

i1i1i177787175730399.34.75b2故可得到。

7000730a399.34.75302576．解：(1)散点图略，呈直线形. (2)经计算可得：t46.36,y19.45

i111ti236750,i111yi25442,ti111iyi13910

139101146.3619.450.3b2

367501146.36a19.450.346.365.542^0.3t5.542。

故所求的回归直线方程为y