复习参考题教案3

变量间的相关关系、统计案例

1．两个变量的线性相关

(1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)负相关

在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(3)线性相关关系、回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程

(1)最小二乘法

求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

(2)回归方程

^^^^^方程y

＝b

x＋a

是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a

，b

是待定参数．

nnb

＝∑

x－xy－y＝∑xy－nx

y∑

x－x∑x－nxa

＝y－b

x^i＝1iini＝1i＝1i2iini＝12i2^^

. 3．回归分析

(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(2)样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(x，y)称为样本点的中心．

(3)相关系数

当r>0时，表明两个变量正相关；

当r<0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

4．独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．

(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

2×2列联表

x1

x2

总计

y1

a c y2

b d 总计

a＋b

c＋d

a＋c b＋d a＋b＋c＋d

nad－bc22构造一个随机变量K＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

a＋bc＋da＋cb＋d(3)独立性检验

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．

(

) (

) (

) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．

(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．

^(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．

(

) (

) (5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．

(6)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．

2．下面哪些变量是相关关系

(

) (

) A．出租车车费与行驶的里程

B．房屋面积与房屋价格

C．身高与体重

D．铁块的大小与质量

3．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：

身高x(cm)

体重y(kg) 160

63

165

66

170

70

175

72

180

74

^^根据上表可得线性回归方程y＝0.56x＋a，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为

(

) A．70.09 kg

C．70.55 kg

B．70.12 kg D．71.05 kg 4．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填“有关”或“无关”)．

5．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是

A．有99%的人认为该电视栏目优秀

B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系

C．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系

D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系

(

)

题型一

相关关系的判断

例1

x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．

①x，y是负相关关系；

2②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关指数为R1，用y＝bx＋a拟合时的相关指22数为R22，则R1>R2；

③x、y之间不能建立回归直线方程．

思维启迪

本题散点图对应的曲线类似于指数型曲线，因此，用y＝bx＋a拟合的效果差，所以R22小．

思维升华

判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱．

(1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②，由这两个散点图可以判断(

)

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关 (2)(2012·课标全国)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn1不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这2组样本数据的样本相关系数为

A．－1

B．0

(

) 1

C.

2D．1 题型二

线性回归分析

例2

某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x(个)

加工的时间y(小时)

2

2.5

3

3

4

4

5 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

^^^

(2)求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；

(3)试预测加工10个零件需要多少小时？

^^^思维升华(1)回归直线y

＝bx＋a必过样本点的中心(x，y)．

(2)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．

为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：

时间x 命中率y 1

0.4

2

0.5

3

0.6

4

0.6

5 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．

题型三

独立性检验

例3

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别

是否需要志愿者

需要

不需要

男

40

160

女

30 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．

(2)能否有99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

思维启迪

直接计算K2的值，然后利用表格下结论．

思维升华

(1)根据样本估计总体是抽样分析的一个重要内容．要使估计的结论更加准确，抽样取得的样本很关键．

(2)根据独立性检验知，需要提供服务的老人与性别有关，因此在调查时，采取男、女分层抽样的方法更好，从而看出独立性检验的作用．

某中学对“学生性别和是否喜欢看NBA比赛”作了一次调查，其中男生人数是5女生人数的2倍，男生喜欢看NBA的人数占男生人数的，女生喜欢看NBA的人数占女61生人数的. 3(1)若被调查的男生人数为n，根据题意建立一个2×2列联表；

(2)若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关，求男生至少有多少人？

a＋b＋c＋dad－bc22附：K＝，

a＋bc＋da＋cb＋dP(K2≥k)

K

统计中的数形结合思想

典例：(12分)某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示：

年收入x(万元)

年饮食支出y(万元)

2

0.9

4

1.4

4

1.6

6

2.0

6

2.1

6

1.9

7

1.8

7

2.1

8

2.2

10 2.3 0.100

2.706

0.050

3.841

0.010 6.635

(1)根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；

(2)如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．

温馨提醒

(1)在统计中，用样本的频率分布表、频率分布直方图、统计图表中的茎叶图、折线图、条形图，去估计总体的相关问题，以及用散点图判断相关变量的相关性等都体现了数与形的完美结合．借助于形的直观，去统计数据，分析数据，无不体现了数形结合的思想．

(2)本题利用散点图分析两变量间的相关关系，充分体现了数形结合思想的应用．

(3)本题易错点为散点图画的不准确，导致判断错误.

方法与技巧

^^^^^^1．求回归方程，关键在于正确求出系数a

，b

，由于a

，b

的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为b

，常数项为a

，这与一次函数的习惯表示不同．) 2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．

3．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．

失误与防范

1．相关关系与函数关系的区别

相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．

2．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.