小结教学设计及教案分析

正态分布

1. 已知随机变量X服从正态分布N（，2），且若4,1，

则P(2X2)0.9544，P(X)0.6826，P(5X6)（ ）

A．0．1358 B．0．1359 C．0．2716 D．0．2718 【答案】B 【解析】

2. 已知随机变量X~N(2,2)，下列概率与P(X1)相等的是（ ）

A．P(X3) B．P(X4) C．1P(X4) D．1P(X3)

【答案】A 【解析】

试题分析：由正态分布的对称性可知P(X1)与P(X3)相等，所以应选A. 3. 已知随机变量服从正态分布N(0,2)．则“P(22)0.9”是“P(2)0.04”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】由随机变量服从正态分布N(0,2)可知正态密度曲线关于y轴对

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称,P(22)0.9P(2)10.90.50.04所以是充分不必要条件．

24.已知随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)=1e2p-(x-2)2221的图象，若ò0f(x)dx=，则P(X>4)=（ ）

31111A． B． C． D．

6432【答案】A 【解析】

5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N0,32，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6内的概率为（ ）

（附：若随机变量服从正态分布N,2，则P68.26%，P2295.44%）

A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%

【答案】B 【解析】

试题分析：由题意1P（3＜＜3）68.26%，（P6＜＜6）95.44%，P（3＜＜6）（95.44%68.26%）13.59%．2

故选B．

6. 已知随机变量X～N(3，22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于 A．0

B．1

C．2

D．4 【答案】

B 【解析】

由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝22＝4，∴D(η)＝1. 7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态

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分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）

A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若XN(,2)，则P(X)0.6826，P(2X2)0.9544

【答案】C. 【解析】

1P(1x1)0.34，故选C. 28. 设随即变量服从正态分布N(0,1)，P(1)p，则P(10)等于

（ ）

试题分析：根据正态分布的性质，P(0x1)A．11p B．1p C．12p D．p

22【答案】D 【解析】正态曲线关于直线x0对称，P1P1p，因此P10111P1112pp. 2229. 如果随机变量X～N(2,22)，若P(X

) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 10. 已知随机变量x服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ

) A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718 【答案】B

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【解析】由题知x服从正态分布N(4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P(2

211.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(

) A．0.954

C．0.488

【答案】

A 【解析】P(ξ>2)＝0.023，由正态分布曲线的性质可知，P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 12. 正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则(

) A．m＞n C．m＝n 【答案】

C 【解析】

∵区间(2,3)和(－1,0)恰好关于μ＝1对称，从而正态总体N(1,9)在两区间上取值的概率相等，即m＝n. 13. 已知随机变量X服从正态分布N(0，2)且P(2≤X≤0)0.4则P(X2)

．

B．0.977

D．0.477 B.m＜n D.不确定

【答案】0.1

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14. 随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________. 【答案】0.7 【解析】由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.3，P(ξ＜2)＝1－0.3＝0.7. 15. 如图，两个正态分布曲线图：1为1,(x)，2为22(x)，则1 2，1 12（填大于，小于）

【答案】＜，＞．

【解析】由正态密度曲线图象的特征知．

三、解答题 16. 某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1 （Ⅰ）求P（75＜X＜95）；

（Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

【答案】见解析

P（ξ=3）==，

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∴ξ的分布列为：

ξ

P E（ξ）= 0

1

=．

2

3

17. 【2016广东佛山模拟】未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：μm）．

（I）计算平均值μ与标准差σ

（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ）；该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件．度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？

参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．

【答案】（Ⅰ）105μm，σ=6；（Ⅱ）需要进一步调试，理由见解析

【解析】

18.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：

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经计算，样本的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值. （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的频率）；

①P(X)0.6826；②P(2X2)0.9544；

③P(3X3)0.9974.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级. （2）将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品

（ⅰ）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)；

（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E(Z). 【答案】（1）性能等级为丙；（2）（i）0.12；（ii）0.12. 【解析】

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