阅读与思考 九连环教学目标

等比数列的前n项和

重庆市黔江中学校 肖毅肃

一、教学目标

1、知识与技能

（1）掌握等比数列求和公式，并能用公式解决简单的问题；

（2）通过对公式的推导,给学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。 2、过程与方法

（1）通过对公式的推导，提高学生研究问题、分析问题、解决问题的能力；由研究

等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

（2）体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透方程、分类讨论等数学思想。

3、情感与态度

通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创

新的品质。 二、教学重难点

重点：等比数列项前n和公式的推导与性质的应用

难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

三、教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）

四、教学过程：

1．创设情境，导入新课

1）复习旧知，铺垫新知：

（1）等比数列定义及通项公式；

（2）等比数列的项与项之间有何特点？

说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q，从而为“错位相减法”求等比数列前n项和埋下伏笔。

2）问题情境，引出课题

话说唐僧师徒四人西天取经回来以后，孙悟空回到水帘洞做起了水果生意，做的是风生水起，同时猪八戒回到高老庄经营餐饮行业，当起了集团的CEO,因最近餐饮行业不景气，急需大笔资金周转。于是想到了大师兄，想从大师兄那借点钱周转哈，原以为孙悟空不愿意，哪知孙悟空一口答应了下来，但提出如下条件：孙悟空每天给猪八戒注入100万的资金，持续30天时间；但借钱第一天，老猪需要返还1元，第二天还2元，以后每天所还的钱数都是上一天的2倍，30天后两人互不相欠。老猪听后觉得挺划算，但想到取经路上多次受骗，所以很为难。假设在座的你作为集团的高级参谋,帮猪老总出个主意该不该签订该合同？

注：师生合作分别给出两个和式：八戒得到的赞助T30100303000万，返还给悟空的钱数S30122223229。

等差数列前30项之和学生会求，对②式学生知道是等比数列项前n项和的问题，但却感到不会解！

问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行） 问2：怎么办？（用追问的方式引出课题） 2．师生互动，新课探究：

问题1

如何求和：S30122223229

注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，师做必要启发：

等式右边各项有什么特点？（等比数列30项和） 2）公比是多少？（2）

即：从第二项起每一项比前一项多乘以2. 3）因此，如果两边??（教师语速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等式两边同乘以公比2）

从而有：2S3022223229230

师：如何求S30？（此处给学生充分的观察思考的时间，师不忙给出结论，让他们自己得出求解的方法：作差）

注：①学生解出S30，并与T30比较（到底能不能向猴哥借钱）。这种求和的方法叫错位相减法。

②此处先不忙介绍“错位相减法”的要点，只让学生有个大致印象，后面还有应用，体现从特殊到一般、学生自主探究教材的新教材理念。

问题 2 如何求等比数列{an}的前n项和Sn：

注：①学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少学生会想到“错位相减法”，教师可放手让学生探究，并请学生上台板演。

②将等式两边同时乘以公比q后会得到qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn 两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前n项和的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后师用多媒体予以突出强调，加深印象！

③两等式作差得到（1-q）Sna11qn时，肯定会有学生直接得到Sna11qn

1q，师不忙揭露错误，等一会用练习反馈这个易错知识点，从而掌握公式的本质！

练习1. 判断是非124816(2)n1① n2n1(12)1(2)②1222232n1(12n)12c2[1(c2)n]1c2c0③若 且 ,则c2c1c4c6c2n

注：此组练习目的：

①

熟悉等比数列求和公式的结构。

②

公比q1时,公式还能用吗? 数列的项数一定要找准。

( 通过纠错的方式给出公式比平铺直叙方式得出公式的效果要好得多，学生通过：自己推导出公式（不完整）──公式应用──得出矛盾──完整公式的过程，很好地解决了本节课的重、难点

）

例1已知{an}是等比数列，请完成下表：题号(1)(2)(3)a11227q1223n8anSn　　　　　　　896　　　　63　　2a1、q、n、an、Sn中知三求二

注：求和公式中共有五个量：Sn,a1,q,n,an，可用方程（组）思想：知三求二. 根据所给条件灵活选择哪个求和公式求解。

例2、在等比数列{an}中，已知S510

,

S1050

,求S15。

a1(1q5)101qa1105法二：由题意得解得q4,101q3a1(1q)501qa1(1q15)a1S15(143)2101q1q5a110当q1,此方程组无解10a150注：用等比数列求和公式时要注意分类讨论。q1与q1

观察数列S5,S10S5,S15S10,三者有怎样的关系？

变式、在等比数列{an}中，Sn是其前n项和，求证：S7,S14S7,S21S14也成等比数列。

注：由特殊例子推出一般情况下的等比数列前n项和的性质。

五、课堂小结：

六、作业布置