信息技术应用 估计√2的值教学内容概述

数列知识回顾

识结构

点回放

两种数列的基本公式及性质

等差数列{an}

an＋1－an＝d (d为常数)

等价形式an＋1＋an－1＝2an

an＝a1＋(n－1)d 变形：an＝am＋(n－m)d

a＋ba，A，b成等差数列⇔A＝

2(A称为a，b的等差中项) 等比数列{an} an＋1＝q (q≠0)(q为an常数)

等价形式an＋1·an－12＝an

(an≠0) －an＝a1·qn1 －变形：an＝am·qnm

a，G，b成等比数列⇔G＝±ab

(ab>0)

(G称为a，b的等比中项) q＝1时，Sn＝na1

q≠1时，Sn＝a11－qna1－anq＝

1－q1－q若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq

若m＋n＝2p，则am·an＝a2p

{an}是常数列⇔q＝1 a1>0{an}递增⇔q>1定义

通项公式

中项

前n项和公式

nn－1na1＋anSn＝na1＋d＝

22若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq

若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap

基本性质

{an}是常数列⇔d＝0 {an}递增⇔d>0

a1<0或

00a1<0{an}递减⇔d<0

或

01Sm，S2m－Sm，S3m－S成等比数列

Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列

2m(q≠－1或m为奇数) 若项的下标成等差若项的下标成等差数列，则相应的数列，则相应的项项成等差数列

成等比数列

{an}，{bn}成等比数若{an}，{bn}成等差数列，则{an＋1bn列，则a，a，nnbn}，{an－bn}成等差数列

{an·bn}成等比数列

想方法

一、取倒数法和取对数法求通项

2n1·an例1

已知数列{an}满足an＋1＝n＋1，a1＝2.求an. an＋2解

例2

在数列{an}中，an＋1＝3a2n，a1＝3.求an.

解

二、运用恒等变形求数列前n项和

例3

(2009·山东日照一模)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意*的n∈N满足2Sn＝3an－3. (1)求数列{an}的通项公式；

1(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数log3an·log3an＋1n，总有Tn<1.

＋例4

已知数列{an}的前n项和Sn，对一切正整数n，点(n，Sn)都在函数f(x)＝2x2－4的图＋

象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

三、运用方程(组)的思想解数列问题

例5

等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.

2n例6

(2009·江苏通州模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝an－＋34. 9(1)当m＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列；

1(2)当λ＝－时，试判断数列{bn}是否为等比数列．

2

四、运用函数的思想解数列问题

log2

bn＋11－的最大项和最小项的值．例7

设bn＝(1＋r)qn1，r＝219.2－1，q＝，求数列

2log2

bn

五、构建数列模型解实际应用题

例8

甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，

2a甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a32n－1万元

(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？

练习：

某油料库已储油料a t，计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b

t，设an为正式运营第n年底的储油量．

(1)求an的表达式并加以证明；

27(2)为应对突发事件，该油库年底储油量不得少于a t，如果b＝a t，该油库能否长期按324计划运营？如果可以请加以证明，如果不行请说明理由．(取lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)．

思妙解

1．等差数列性质多，三点共线可求和

1

在等差数列{an}中，S10＝20，S50＝200，求S2 010的值．

2．数列图象莫轻视，大题小作显神奇

2

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1>0，S12>0，S13<0，指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由？