探究与发现 组合数的两个性质公开课教案

探究与发现

组合数的两个性质

【教材分析】：“探究组合数的两个性质是《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》（人教A版）第一章第二节第二小节后的探究与发现。在学习了排列、组合、以及组合数公式等知识的基础上提出来的，通过组合数性质的学习，起到加强组合数公式的计算、变形能力，简化组合数的计算，为后续的二项式定理的学习提供基础。本节课使学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法，学会观察、比较、猜想、归纳、抽象概括，能够体现数学的核心素养。

【学情分析】:我们班级是双语班，大多数同学基础比较薄弱，但思维比较活跃，故课堂学习内容安排相对少点，老师讲解比较细致，语速也比较慢，从具体的学校五四演出选人参加有多少种不同选法来引入新课（组合数的两个性质），学生会比较感兴趣。

【教学目标】:

1.知识与技能: 理解组合数的两个性质，领会组合数的性质的推导方法，会应用性质解决有关的数学问题；培养学生发现知识、应用知识、分析解决问题的能力。

2.过程与方法：通过具体的事例，观察分析、合作交流，探究归纳出组合数的两个性质，培养学生从特殊到一般的思想方法。

3.情感、态度与价值观：班级具体事例入手，激情投入，使学生体会数学来源于生活又服务生活，激发学生学习数学的热情，高效学习，养成扎实严谨的科学态度,会用组合数的性质解决问题. 教学重点：组合数的两个性质及应用。

教学难点：组合数两个性质的灵活运用。 教学方法：启发、探究式教学

复习回顾：

组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

合成一组，

叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

mCnmAnn(n1)(n2)(nm1)mAmm!

n!Cm!(nm)!

mn情境设置（引入新课）：

班级有7个同学参加五四演出.（用组合数探究）

（1）

选出3个同学诗歌朗诵，可以有多少种不同的选法？

3解：C7=35 （2）

若选出4个同学唱歌，可以有多少种不同的选法？

4解：C7=35 3473对两题的结果有何发现？C7=C7

C7（先选3个人诗歌朗诵，剩下4个人唱歌；或者先选4个人唱歌，剩下3个人诗歌朗诵；两种选法其实是一回事，只是看问题的角度不一样）

计算下列各组组合数的值：

13=5；

C53=10；

C62=15；

C10=120；

……

C57=120；

……

C54=5；

C52=10；

C64=15；

C10你发现了什么？你能解释你的发现吗？

（留出时间让学生带着问题观察、分析、总结，得出性质1，增强学生学习数学的兴趣与信心。）

各组的两个组合数都相等，而且两个组合数的上标之和等于下标：

1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+7=10，……

一般的式子表示为：CnCnmn-m，由于Cn01，故等式在m=n时也成立。

mn-mCC性质1 n

n注意: 当C

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，必然剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下n-m个元素的组合一一对应。故从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从n个不同元素中取出n-m个元素的组合数。该性质反映了组合数的对称性。

xnCyn，则x=y或x+y=n （x，y，n为自然数）

情境深入：

班级有7个同学参加五四演出，其中小木是班长，选3个同学诗歌朗诵。

(1)

选出3个同学参加诗歌朗诵，可以有多少种不同的选法？

3解：C7=35 (2)

若小木参加，可以有多少种不同的选法？

2解：C6=15 (3)

若小木不参加，可以有多少种不同的选法？

3解：C6=20

323CCC发现 766

mmm1CCC性质2 n1

nn

证法1：（公式法）因为

左边=(n1)n!(n1)!=

m!n1m(nm)!m![(n1)m]!n!n!n!mn!右边==

m!nm!(m1)![n(m1)]!m!nm!m!(nm1)nm!(nm1)n!mn!(n1)n!

==；

m!(nm1)nm!m!n1m(nm)!

所以，等式成立。

证法2-------分类加法计数原理法。

集合有n+1个元素，从中选取m个元素，分为两类：

m1第一类，包含某个特殊元素（例如班长小木）的方法数为

Cn;第二类，不包含特殊元素（班长小木）的方法数为

C;

mn

mmm1这两种方法计算同一事件发生的结果，故有

Cn

1CnCn;

记忆：右边下标相同，且是左边下标加1；右边上标是相邻关系，左边取大上标。

（在学生的认知基础上，根据组合数的定义和分类加法计数原理，将它推广到一般，对性质2有更深刻的理解。）

组合数的性质的简单应用：

例1.计算：（1）

C98100

（2）C9799C9899

298C99C99

（3）

2A100

（例题（1）是对性质1的简单考察，（2）、（3）小题是性质1与性质2的综合简单应用，达到再次熟悉性质的目的）

22222例2.求和：

C2

C3C4C5C99

23（考察性质2的同时要求学生要学会观察、灵活的把C2

进行变化为C3，达到持续应用性质2解决问题）

m4m66CCC例3.解不等式：

mm1m1

（性质1等价转化后再用性质2，学生心理就对含字母的题目有些怕，最后还需注意下标大于等于上标，且有mN，例3对学生的要求较高）

【课堂练习】:

2x2x161.已知

C17C17C18;则x=_________

*

2.计算：C4C5C6…+C17+C18+C19;

3.计算：C3+C4+C5+…C97+C98+C99；

（采用变式训练，加深对性质的认知理解与巩固提高，需要添项后连接计算，注意保持式子的平衡，对学生的思维是个挑战，是这节课的教学难点）

123959697222222教学总结:（提问式、学生自己总结）

(1) 组合数的两个性质是什么？

性质1 CCmnmmm1CCC性质2 n1nn

n-mn

(2)关于性质2的题目类型有两大类的处理方式：一类是上标相同，下标递增；

（灵活添项处理，注意保持式子平衡）

另一类是下标递增，上标也递增，并且下、上标之差是一个常数。

（用性质1转化为上标相同，下标递增的形式后，与上一种类型一致。）

作业布置: 1.

化简：C72. 证明：C33.

3455C7C8C9;

3410033334=C4=…=C100=1】

C4C5…+C98C99=C100;【提示：C33x1x23C2C解不等式：

x1x1

板书设计：

探究组合数的两个性质

情境引入

例题1

课堂小结

性质1

例题2

作业布置

情境深入

例题3

性质2

变式训练

教学反思：

复习提问基础薄弱的同学，发现知识点掌握不牢固，计算能力也需要提高。从具体的五四活动演出引入来引起学生的兴趣，对实际问题的计算、简单组合数计算后观察、分析、提炼出性质。对性质2的理解与证明用时较多，学生一直参与其中，学生主体，教师主导学生提出性质，而非强加给学生。三个例题层次由浅加深，符合学生的认知水平。例题一简单就选择让学生上黑板做，老师在下边巡视具体情况，例题二、三对学生的要求较高，启发式提问想出处理方法。变式训练对例题是一种加深与巩固，更深刻的理解组合数的两个性质。自我评价是比较成功的一堂课。