小结教学设计第一课时

基本不等式的应用——求最值

教学目标：利用基本不等式的变式求代数式或函数的最值。

教学重点：基本不等式的应用求最值。

教学难点：探求最值的条件。

教学过程：

一、导学提示

a,bR,a2b22ab，（当且仅当ab时取""号）

变式1：a,bR,ab2ab,（当且仅当ab时取""号）

算术平均数



几何平均数

2变式2：a,bR,abab2,（当且仅当ab时取""号）

二、新知构建

1.a,bR,当abS（定值），则ab2S，即abmin2S。

积定和有最小值

2 2.a,bR,当abt（定值），则abtt22，即abmax4。

和定积有最大值

这就是我们这节课的主题

三、典例探究

例1：求yx1x(x0)的最小值。

分析：x,111xR,且xx1为定值，y2xx2，（当x1时取""号）

ymin2

变式1：求yx1x(x0)的最大值。

x,1x

都是负数怎么办？调节符号！

分析：x,1xR,且(x)(1x)1为定值，(x)(11x)2(x)(x)2，

y2,ymax2（当x1时取""号）

变式2：求yx1x(xR,x0)的值域。

x,1x

又可为正数，又可为负数，又怎么办？哦，仿上，分两类讨论即可。

还有其它办法吗？

分析：yx1xx1x2，（当且仅当x1时取""号） y,22,。

点评：使用基本不等式的条件之一：a,b0，（一正）

方法：调节符号

例2：①若x3时，求函数yx1x3的最小值。

x1x3xx3不是定值，如何是好？整体代换，配凑式子！

分析：x3,y(x3)1x332(x3)(1x3)35，当且仅当x31x3

即x4时，ymin5。

注：把x3作为一个整体

②若0x12时，求函数yx(12x)的最大值。

唉，x(12x)1x又不是定值！怎么办呢？解决它！调节系数！

分析：2x(12x)1，为常数

12解：0x2,12x0，yx(12x)112x12x12(2x)(12x)228

当且仅当2x12x即x14时，取""号。当x14时，y1max8。

点评：使用基本不等式的条件之二:“二定”（求和让积定，求积让和定）

方法：调节系数，配凑式子

例3：①求函数yx23x22的最小值。

②已知正数a,b，满足ab4，求1a2b的最小值。

解：①yx2211x22x22x222,ymin2，多漂亮的变形啊！此种解法对吗？

分析：x221x22，即x221,x21时取""号，不成立。

正确解法：yt13t,(tx222)单增，t2时，ymin22。

②1a2b(1a2b)ab414(1a2b)(ab)1242ab2ab2，这该没问题了吧！此种解法对吗？

分析：我们来考察两次放缩不等式取等号的条件！ 第一次：b2a；第二次：ab；则ab0与ab4矛盾。

哦！找到了错误的根源。两次等号成立的条件不兼容，故等式不成立。

正确解法：1212ab1b2ab2ab(ab)44(3ab)，哇塞，aab2，终于出现定值了！

12ab(1a2b)ab414(3ba2ab)1b2a3224(32ab)4

此时取等号的条件是什么呢？当且仅当b2aa4(21)ab即ab4b4(22)时取""号。y322min4。

点评：使用基本不等式的条件之三：“三等”。

四、练习提升

已知正数x,y，满足81xy1，则①xy的最小值是__；

②x2y的最小值是__；

解：①x0,y0,8x1y28xy,28xy1,xy32，

当且仅当x16,y2时取""号。故(xy)min32

②方法一：x2y(8x1y)(x2y)10xy16yx16yx102yx18，当且仅当

81xy1，即x12时取""号。故(x2y)x16yy3min18。

yx方法二：（消元法）由8x1y1，得yxx8，由y0,x0

知x8，则

x2yx2xx8x2(x8)16x8x216x8

(x8)16x8102(x8)(16x8)1018当且仅当x816x8，即x12（x4舍），y3时取""号。(x2y)min18。

注：把x8视为一个整体。

五、课堂总结

⑴

涉及知识点：基本不等式及应用。

⑵

涉及数学思想方法：化归整合的思想。

⑶

不等式求最值得条件：“一正二定三等”。

⑷

方法与技巧：调节符号与系数，配凑式子，整体代换。

六、作业巩固

课本P100练习

T3,T4; P101B组T1,T2