一 数学归纳法ppt配套的教案及板书设计

《选修4-5第四讲

数学归纳法》教学设计 汕头市潮阳黄图盛中学 郑圳垚

一、【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5（人教A版）》第四讲《数学归纳法证明不等式》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。

二、【教学目标】

（1）知识与技能目标：

①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；

②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。

（2）过程与方法目标：

努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观目标：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

三、【教学重难点】

教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的数学命题；

教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。

四、【教学方法与工具】

教法指导：本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结”五字教学法，即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法；通过提出问题、创设情景，引导学生积极思考；借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性，延长学生有意注意的时间；教学中，及时精选一些练习帮助学生巩固与强化知识，而“结”则包含两方面的内容（1）授课中教师的及时小结与点拨（2）听课时学生的自我小结与巩固。 学法指导：（1）学习要求：①课前预习教材中有关内容；②听课时积极思考大胆质疑；③课后及时完成课外作业。（2）指导措施：通过设置问题情景，激发学生大胆思考；由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽象为具体，突破教学难点；借助电脑声像效果，营造愉悦课堂氛围，提高学习兴趣。

教学手段：多媒体辅助课堂教学。

五、【教学过程】

一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）

1．

创设问题情境，启动学生思维

(1) 完全归纳法对比引例：

一个盒子中有4个小球，如何验证它们都是红色的？

（全部取出来）

（2）不完全归纳法引例：

明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．

2．

借助数学史料, 促使学生思辨

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（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）

问题

费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，221一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了21＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．

3．

回顾数学旧知，追溯归纳意识

（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）

(1) 不完全归纳法实例：考察部分对象,得到一般结论的推理方法。比如给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．

(2) 完全归纳法实例：

考察全体对象，得到一般结论的推理方法。比如证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．

设计意图：培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．

二、搜索生活实例，激发学生兴趣

【实例：】播放多米诺骨牌的游戏视频

【探究：】多米诺骨牌全部倒下的条件

【分析：】（实验一：）在该实验中，骨牌的间距合适。用手推第一块骨牌，但没有推倒，第二块骨牌，第三块骨牌…自然也没有倒下，游戏失败；

（实验二：）在该实验中，骨牌间距出现分化，使第一块骨牌和第二块骨牌间距足够第

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大，其他间距不变。这时用手推倒第一块骨牌，但第二块没倒下，第三块、第四块也没有倒下，游戏失败。此时让学生对比实验一实验，分析原因；

（实验三：）在该实验中用手推倒第一块骨牌，然后第二块骨牌…全部骨牌依次倒下；

【设计意图：】通过三个不尽相同而又密切相关的实验，旨在引导学生从不同角度，对比感悟数学原理，实现学生思维由隐形到显性，由模糊到清晰，由片面到完整的过渡。

三、类比数学问题, 激起思维浪花

类比多米诺骨牌过程, 证明数列前n项和公式：135(1)n(2n1)(1)nn。

①第一块骨牌必须要倒下

②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下

①当n1时，猜想成立

②假设nk时，猜想成立，即135(1)k(2k1)(1)kk

则当nk1时135(1)k1[2(k1)1](1)k(1)[2(k1)1](1)(k1)

即当nk1时猜想成立

发现，对任意的正整数n猜想都成立，即该数列前n项和公式：

135(1)n(2n1)(1)nn.四、师生合作，形成概念。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立；

kk1k1

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1

时

命题也成立。

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述这种证明方法叫做数学归纳法。

【问题一：】在上面第一步中，n是否必须从1开始取值？若不是，用反例说明。

五、讲练结合，巩固概念

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【例1：】证明：n35n(nN)能够被6整除。

（1）当n=1时，命题成立。

（2）假设当n=k（k≥1）时，命题成立当n=k+1时，……命题成立. 由(1)(2)知,命题对一切正整数成立. 【例2：】平面上有n(nN,n3)个点，其中任何三点都不在同一条直线上。过这些点中任意两点作直线，这样的的直线共有多少条？证明你的结论。

猜想：过n个点（任意三点不共线）中任意两点作直线，直线的条数共有334(n1)1n(n1)

2

引导学生概括, 用数学归纳法证明恒等式注意事项：

①明确初始值n0，验证真假。（必不可少）

②“假设n=k(k≥n0)时命题正确”，写出命题形式。

③证明“n=k+1时”命题成立。

分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。

(注意用上假设) ④要作结论

【练习】用数学归纳法证明：122232...n2

证明：(1)当n1时，左边：121，右边：

左边=右边，等式成立。

(2)假设当n(n1)(2n1)6(nN*)

1(11)(21)1

6nk(kN*)6时等式成立，即122232...k2k(k1)(2k1)(kN*)

则当nk1(kN*)时，

2）

左边122232...k2（k1

k(k1)(2k1)62

（k1）

(k1)(k2)(2k3)(nN*)=右边

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即当nk1时，等式也成立

nN*等式成立。

【设计意图：】让学生自己尝试用数学归纳法证明之前学习中给出的公式——正整数的平方和公式，加深了学生对已学知识的认识。

当堂检测：

1.观察式子：1123，112125，11212127，，则可归纳出式子为（

）

2Ａ．1121223Ｃ．1121223411112(n≥2) Ｂ．122n2n12312n1112(n≥2) Ｄ．122nn23223323411(n≥2)

2n2n112n2(n≥2)

n2n12.用数学归纳法证明：首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1，前n项和公a1(1qn)式是Sn(q1).

1q

六、回顾总结，反思提高

(1) 数学知识：数学归纳法——两个步骤一个结论；

(2) 数学方法：数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题）；

(3) 数学思想：归纳思想、递推思想。

七、分层作业

一、选择题

11．用数学归纳法证明123252(2n1)2n(4n21)过程中，由nk递推到nk13时，不等式左边增加的项为 （ ） A.(2k)2 B.(2k3)2 C.(2k1)2 D.(2k2)2

2．凸n边形有f(n)条对角线，凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为

（ ）

A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2

3．用数学归纳法证明不等式

111113(n2)的过程中，由n=k递推到n1n2n32n24n=k+1时，不等式左边 （ ） A.增加了一项111 B.增加了一项

2(k1)2k12(k1)第

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11111”，又减少了“” D.增加了“

”，又减少了“”

k1k12k12(k1)2(k1)二、填空题

11111234．已知数列，计算得s1,s2,s3,，由此可猜测,,234122334,n(n1)sn_______．

11111,则f(k1)=

f(k)+ _______．

5．若f(k)=12k12k234C.增加了“三、解答题

6．由下列不等式：11，1111，111223231311，1722312，15，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

八、板书设计

数学归纳法

数学归纳法：

【例】

证明：

【练】

证明：（学生板演）

课堂小结：（1）、、、

（2）、、、

（3）、、、

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