探究与发现 组合数的两个性质教学设计范文

课

题：

10．3组合

(二) 教学目的：

1掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；

2. 进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题

教学重点：组合数的性质

教学难点：组合数的性质

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体

教学过程：

一、复习引入：

1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做m从n

个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示．

Cn．．．Anmn(n1)(n2)(nm1)3．组合数公式：Cm

Amm!mn或Cnmn!(n,mN,且mn)

m!(nm)!二、讲解新课：

mnm1

组合数的性质1：Cn．

Cn一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n．．．．个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n



m个元素的组合数，即：mnm．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

CnCnnm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!m又

Cnmnmn!，∴CnCn

m!(nm)!0说明：①规定：Cn1；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；

③此性质作用：当mnmnm时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化. 22001200220011例如C2002＝C2002＝C2002=2002；

x ④CnCnyxy或xyn．

mmm12．组合数的性质2：Cn．

1＝Cn+Cnm一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,,an1m1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从m个．根据分类计数原理，可以a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

n!n!mm1证明：Cn

n!(nm1)n!m Cnm!(nm)!(m1)![n(m1)]!m!(nm1)!m(n1)! (nm1m)n!Cn1

m!(nm1)!m!(nm1)!mmm1∴Cn＝+． CCn1n说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；

②此性质的作用：恒等变形，简化运算

三、讲解范例：

例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，

（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

332323解：（1）C8，；（2）C7（3）C756,或C8C7C721；35．

3456例2．（1）计算：C7；

C7C8C9nnn1n2（2）求证：Cm＝++C2CC2mmm．

解：（1）原式C8C8C9C9C9C10C10210；

证明：（2）右边(CmCm)(CmCm)Cm1Cm1Cm2左边

4565664nn1n1n2nn1nx12x3例3．解方程：（1）C13；（2）解方程：Cx2Cx2C13x2x313Ax3．

10

解：（1）由原方程得x12x3或x12x313，∴x4或x5，

1x113

又由12x313得2x8且xN，∴原方程的解为x4或x5

xN上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把x4和x5代入检验,这样运算量小得多. （2）原方程可化为Cx3x21313(x3)!(x3)!5Ax3，即CxA，∴，

3x310105!(x2)!10x!∴11，

120(x2)!10x(x1)(x2)!2∴xx120，解得x4或x3，

经检验：x4是原方程的解

四、课堂练习：

P.103-2,3,4,5,6 以下为备用练习

x3x81．方程C28的解集为（

）

C28 A．4 B．9 C． D．4,9 m217m2．式子C10（mN）的值的个数为 （ ）

C10 A．1 B．2 C．3 D．4

9983．化简：CmCm1Cm ； 108n4．若Cn，则C20的值为 ；

Cn5．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；

6．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ；

7．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；

8．集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是 ．

9．从1,2,3,,20这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法

10．正12边形的对角线的条数是 ．

11．已知C17C17，求C8x的值； 2x2x15612．解方程：C4．

C4C6C6x22x13．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？

14．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个

答案：1. D 2. A 3. 0

4. 190 5. 10 6. 60 7. 243

8.

mn 9. 90 10. 54 11. 28或者56 12. 2 或者

3314.

A10/A3120，可以保证0在最低位

1 13. 63

2五、小结

：组合数的两个性质；从特殊到一般的归纳思想；常用的等式：0kk1Ck0Ck1CkCk11

六、课后作业：

P.104-2，7，8 .优化设计

P.113-P.114

七、板书设计（略）

八、课后记：