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第一章

计数原理小结

【教学目标】

1.理解两个原理，并会应用解题；

2.掌握排列组合的概念并且会灵活运用；

3.掌握二项式定理的内容和熟练运用解题。

【知识框图】

复习回顾，建立框图：

1.加法原理与乘法原理；

2.排列和排列数的概念、组合与组合数的概念，以及灵活运用解题；[来源:] 3．二项式定理的内容。

二两

个

计

数

原

理

项

式

定

排列，排列数公式

理组合，组合数公式

应

用

专题精讲：

专题一：两个基本计数原理

计数问题的基本原理是分步乘法计数原理和分类加法计数原理，是最普遍使用的．两个原理的共同之处：是研究做一件事，完成它共有的方法种数问题，而它们的主要差异是“分类”与“分步”．分类加法计数原理的特点是：类与类相互独立，每类方法均可独立完成这件事(可类比“并联”电路来理解)；分步乘法计数原理的特点是：步与步相互依存，且只有当所有步骤均完成了(每个步骤缺一不可)，这件事才算完成(可类比“串联”电路来理解)．运用时要掌握其计数本质，合理恰当地运用这两个原理．

分类加法原理：

概念回忆：

集合角度理解：二项式定理将集合U分成两两不相交的子集S1,S2,Sn,而且Sii1,2,,n的元素个数分别为mi,那么，集合U的元素个数Nm1m2mn

生活示例：进入一个院子要通过一道墙，这道墙左边有n个门，右边m有个门，那么进

入院子的方法数为n+m 分步乘法原理：

概念回忆：

.分步乘法原理对应着“分步活动”，而且只有完成每一个

步骤才能完成相应的事情。

你能把上例改为分步乘法原理的应用吗？

应用：如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有

(

) A．180种

B．240种

C．360种

D．420种

专题二：排列与组合

(1)重视两个计数原理的应用

两个计数原理是本章的核心，其体现的数学思想贯穿全章．在解题时，应认真确定是分类，还是分步．

处理排列组合的综合性问题，一般地思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原

理．

排列组合是两类特殊的计数问题。特殊性表现在哪些方面？

列举生活实例说明

结合实例说明元素的特殊性“从全班50名同学中选出4名同学，分别担任班长，学习委员

，文艺委员，体育委员”

组合的特殊性在于元素的“互异性”，你能把上例改为组合问题吗？

集合角度理解组合：

“从n个不同元素取出个k不同元素的组合”即：这n个不同元素组成的集合的一个k元子集。

排列组合是计数问题里两类特殊的计数问题，怎样计算这类问题的计数问题？

作为两种基本计数原理的应用，回忆排列数公式，组合数公式的推导过程。

分步乘法计数原理的应用

排列数公式：分m步完成。

还能怎样分类？引导学生得出可分两大步骤。

组合数公式：排列问题分两步完成。由排列数公式和分步计数原理得出

应用：从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有(

) A．51个

B．54个

C．12个

D．45个

专题三：二项式定理

(1)牢记二项展开式的通项公式，结合常数

项、有理项等概念解题．

(2)区别二项式系数和项的系数．

(3)注意体会二项式定理的推导过程所蕴含的思想方法，并在解题中应用．

(4)赋值法，求二项展开式各项系数和时要注意结合题目条件恰当赋值．

1.

回忆二项式定理的内容：

二项式定理

(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn 展形式的第k+1项为Tk+1=Cnkan-kbk 2.回忆体会二项式定理的证明。

应用：若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. 求a2；

练习：如图1­2，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)

图1­2 A

B．18

C

D．9 变式：图中长方形有多少个？

课堂小结：

本章中我们在得出两个计数远离，排列数公式，组合数公式以及二项式定理时，我们始终是从一些简单的，具体的示例出发，从中获得一般性问题的经验，得出解决一般问题的思路。这也是学习数学乃至其他学科时可以借鉴的常用方法。

作业：配套练习卷

板书设计：

．12．24

计数原理章末小结

一：知识框图

二：专题整合