1.不等式的基本性质教学实录及点评

选修4-5 1.1 不等式的基本性质

仁怀一中

王健

一、教学目标

1、知识目标：理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，

建立不等式研究的基础。掌握不等式的基本性质，并能加以证明。会

用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不

等式。

2、能力目标：通过教学培养逻辑思维和推理能力. 3、情感目标：通过教学培养学生科学的世界观。 二、教学重点

应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。

三、教法难点

灵活应用不等式的基本性质

四、教学过程设计

（一）导入

图片展示：在我们现实生活中，充斥着许许多多不一样的事物，人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果等等,都表明现实世界中不等关系是普遍存在的，相等是偶然的，而不等却是普遍存在的，不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。比如生活中水管为什么做成圆的而不做成方的？为什么糖水加糖后更甜加水后更淡呢?我们都可以借助不等式来解释。在数学中我们用不等式来表示不等关系，这节课我们就来回顾复习在必修5中学过的不等式的基本性质. （二）不等式的基本原理

研究不等式的出发点是实数的大小关系。

数轴上的点与实数一一对应，我们常利用数轴上点的左右位置关系来判断实数的大小，于是有：实数a、b对应数轴上A、B两点，当A在B的左边时，ab. 关于实数a、b的大小关系，有以下基本事实：

abab0

abab0

abab0

大小比较的基本方法：0为

“标杆”，作差比较法与0比较 . 例1.比较x23与3x的大小. 分析：作差比较法，通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系.

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解：

变式训练：a克糖水中含有b克糖（ab0），加入m（m0）克糖了，糖水变得更甜，怎么解释？

分析：糖水更甜是比较糖水的浓度，作差比较大小来解释. 点评：比较两个代数式的大小，我们可采用作差比较法，根据差的符号来判断大小，如果遇到符号不确定的，还要分情况讨论. （三）不等式的基本性质

下面我们来研究不等式具有哪些基本性质？已经请大家预习过了，我请同学来说一下. 性质1：如果ab,那么ba,如果ba,那么ab. (对称性)即abba

证明: ∵ab, ∴ab0,得(ab)0,即ba0

∴ba(定理的后半部分略) 点评：定理1即

abba

性质2：如果ab且bc,那么ac. (传递性)即ab,bcac

证明：∵ab,bc,∴ab0,bc0

得(ab)(bc)0即ac0

∴ac

点评：等式和不等式都有传递性. 试一试：已知-,求，的取值范围。

22性质3：如果ab,那么acbc. (可加性)即abacbc

证明：∵ab

∴ab0

∴(ac)(bc)0即acbc

点评：性质3的逆命题也成立; 推论：1.如果abc,那么acb（移项法则）

作差

(x23)-3x

x2-3x3变形

33

(x)2

24定号

0下结论

x233x

2

2.如果ab且cd,那么acbd(同向可相性) abab0证法：

abcd0acbd

cdcd0点评：这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.

试试：已知-1x3,1y2,求x+y，x-y的取值范围。问：不等式能同向可相减吗？

性质4：如果ab且c0,那么acbc；

如果ab且c0,那么acbc.(可乘性)

证明：∵acbc(ab)c

∵ab,∴ab0

当c0时,(ab)c0即acbc；

当c0时,(ab)c0即acbc

推论: 如果ab0且cd0,那么acbd.(同向可乘性) 证明：ab,c0 acbc ①

又cd,b0, ∴bcbd ②

由①、②可得acbd. 说明：

(1)所有的字母都表示正数，如果仅有ab,cd，就推不出acbd

的结论. (2)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两

边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向. 性质5: 若ab0,则anbn(nN且n1).（同向可乘方）

说明：强调注意nN且n1的条件. 性质6: 若ab0,则nanb(nN且n1).(同正可开方) 11常用结论（倒数法则）: 如果a＞b,ab＞0,则.(同号取倒则大小倒) ab证明：1a1bba

abab,ab0

11ba11

ba0,0，

ababab思考：在研究不等式时，需要特别注意什么问题？ （四）性质应用

不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点。

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题型1：根据不等式的性质判断命题是否成立

例2.判断下列命题的真假，并说明理由. （1）若aba，则b0.（真）

ab（2）若22，则ab.（真）

ccc（3）若abc，则a.（假）

b（4）若ab，cd，则acbd.（假）

11（5）若ab0，则ab.（真）

ab题型2：利用不等式的性质证明简单不等式

例3.已知ab0,cd0，求证：ab. dcab.为此dc分析：观察要证的不等式，联系性质（6），可知关键是要证明先证明11. dc证明：略

试试用其他方法证明，比如分析法

提醒：证明时要依据不等式性质进行，不能自己“创造”性质进行。进行简单不等式的证明时，如果不能直接应用不等式性质得到，我们可以用分析法的思想进行逆推，寻找其成立的充分条件．

（五）小结

1.比较两个实数大小的主要方法: 作差比较法：作差——变形——定号——下结论 2.不等式的基本性质.

（六）作业布置

教材P9 习题1.1 第1-3题

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