三 反证法与放缩法教学实录与评析

江苏省洪泽中学高二数学教案

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课题：间接证明--反证法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点

3. 教学难点：反证法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。

6．教学过程: 学生探究过程：综合法与分析法

(1)、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

(2)、例子

例1、求证：2不是有理数

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例2、已知ab0，求证：nanb（nN且n1）

例3、设a3b32，求证ab2.

证明：假设ab2，则有a2b，从而

a3812b6b2b3,

a3b36b212b86(b1)22.

因为6(b1)222，所以a3b32，这与题设条件a3b32矛盾，所以，原不

等式ab2成立。

例4、设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)1中至少有一个不小于2. 证明：假设f(1),f(2),f(3)1都小于2，则

f(1)2f(2)f(3)2.（

1

）

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93pq)2（2）

（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可1能同时大于4

111

证：设(1  a)b >4,

(1  b)c >4,

(1  c)a >4,

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1则三式相乘：ab < (1  a)b•(1  b)c•(1  c)a <64

①

又∵0 < a, b, c < 1

∴0(1a)a(1a)a2124

(1b)b11同理：4(1c)c,

4

1以上三式相乘：

(1 

a)a•(1 

b)b•(1 

c)c≤64

与①矛盾

∴原式成立

例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：设a < 0,

∵abc > 0,

∴bc < 0

又由a + b + c > 0,

则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0

与题设矛盾

又：若a = 0，则与abc > 0矛盾，

∴必有a > 0

同理可证：b > 0,

c > 0 巩固练习：第83页练习3、4、5、6 课后作业：第84页

4、5、6

3

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教学反思：

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

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