1.3 二项式定理（通用）第二课时教学实录

二项式定理教学设计

（第一教时）

一、教学目标

1、理解杨辉三角形。其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对(ab)n(n6)的二项式进行展开。

2、掌握二项式定理。其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展开rrnrr式的系数Cn(r0,1,2,,n,nN)以及二项展开式的通项Tr1Cnab；(2)能正确区分二项式系数和某一项的系数；（3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。

二、教学重点与难点

1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。

2、难点：二项式定理的发现。

三、教学过程

1、情景设置

问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？

预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。

问题2：若今天是星期一，再过8n(nN)天后是星期几？怎么算？

预期回答：将问题转化为求“8n(71)n被7除后算余数”是多少，也就是研究(ab)n(nN)的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。

（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。）

2、新授

问题1：(a1b1)(a2b2)的展开式？共几项？每一项如何构成？

问题2：(a1b1)(a2b2)(a3b3)的展开式？共几项？每一项如何构成？

探究：展开下列式子，并回答以下问题

(ab)1ab

(ab)2a22abb2；

(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3；

思考1、若把(a+b)3看成(a+b)(a+b)(a+b) ，你能用排列组合的思想来解释a3这一项是怎么得到的吗？

- 1 -

思考2、参照上题的思想，试展开(a+b)4

(ab)4(ab)3(ab)a44a3b6a2b24ab3b4

师：为了寻找规律，我们将(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)中第一个括号中的字母分别记成a1,b1；第二个括号中的字母分别记成a2,b2；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：

(ab)4(a1b1)(a2b2)(a3b3)(a4b4)

a1a2a3a4

………a4

a1a2a3b4a1a2a4b3a1a3a4b2a2a3a4b1

………a3b

a1a2b3b4a1a3b2b4a1a4b2b3a2a3b1b4a2a4b1b3a3a4b1b2

………a2b2

a1b2b3b4a2b1b3b4a3b1b2b4a4b1b2b3

………ab3

b1b2b3b4

………b4

（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）

问题3：初步归纳出下式：

(ab)nanan1ban2b2an3b3bn

（※）

呈现二项式定理——板书课题：

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb(nN)。

3、深化认识

请学生总结：

①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？

②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。

（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）

4、巩固应用

【例1】展开①(1x)

②(q2)

③

(2x1)

思考：CnCnCnCnCn?为什么？

CnCnCnCn?

12rn012rnn46- 2 -

【例2】求(2x16)的展开式。

x变式1：求展开式中第3项的系数；

变式2：求展开式中第3项的二项式系数；

变式3：求展开式中x的系数；

变式4：求展开式中的常数项。

四、课堂小结

①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。

②二项式定理的表达式以及展开式的通项，

③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，

④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。

五、布置作业（略）

3- 3 -