2.1.2 演绎推理第二课时教学设计

§2.1.2演绎推理教学设计

一、教学目标

1、知识目标

①了解演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异。

②能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理。

2、过程与方法

①结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念。

②通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程。

③通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式。

3、情感态度与价值观目标：让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲

身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲。

二、教学重难点

①重点：知道演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.；

②难点：利用三段论证明一些实际问题。

三、导学过程

1、导标——出示学习目标

2、导学

——用5分钟时间学习课本内容

并请同学们思考下列推理有何特点？

①

所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能导电。

②

太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行。

③

一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被2整除。

④

三角函数都是周期函数，tan是三角函数，因此tan是周期函数。

⑤

两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°

生答：上述例子都是从一般到特殊的推理。 3、导悟

（1）定义：像上面这样，从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，它是由一般到特殊的推理。

（2）演绎推理的一般模式

设问1：请同学们从语文的角度分析以上例子可分为几段？这几段与演绎推理的定义有何关系？

生答： 可分为三段，第一段相当于定义中的：一般性原理；第二段相当于定义中的特殊情况；第三段为定义中的结论。 【师点评】这位同学回答正确，上述例子都可分为三段，我们称为“三段论”，其中第一段称为“大前提”，如“所有的金属都能导电”，指的是一般的原理；第二段称为“小前提”，如“铀是金属”，指的是一种特殊情况；第三段称为“结论”，如“铀能够导电”，是所得的结论。 归纳总结：

三段论

（1）大前提……已知的一般原理

（2）小前提……所研究的特殊情况

（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断 评注：“三段论”可以表示为

1

大前题：M是P

小前提：S是M

结论：S是P。

用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。

四、导用

把下列推理写成三段论的形式

1.等边三角形内角和是180°。

2.0.332是有理数。

3.一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被2整除；

4.三角函数都是周期函数，tan是三角函数，因此tan是周期函数；

设问2：你能再举一些用“三段论”推理的例子吗？

生答：（1）高一（1）班的同学都是少数民族，小李是高一（1）班的，所以他是少数民族。

（2）不能被2整除的数是奇数，13不能被2整除，所以13是奇数； 【师点评】这位同学回答得很好，由此可见，数学来源于生活，又服务于生活，以后我们可以用三段论的推理模式去证明一些问题。

五、导议

判断下列推理结果是否正确

(1)上面的推理形式正确吗？ (2)推理的结论正确吗？为什么？

生答：错误

，因为它的大前提错误，所以结论错误。 【师点评】：以后用三段论证明数学问题时，大前提一定要正确，否则结论就会出现错误。

思考2：合情推理与演绎推理的主要区别是什么？ 生答：（1）推理形式：合情推理是从特殊到一般，特殊到特殊的推理；演绎推理是从一般到

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特殊的推理. （2）推理结论：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确. （3）联系与区别：演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理。

例题1：.如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：

AB的中点M到点D，E的距离相等的部分推理过程如下：

证明：（1）因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形,

在△ABD中，AD⊥BC，∠ADB＝90, 所以△ABD是直角三角形. 同理，△AEB也是直角三角形

CEDAMB设问1：请同学们找出证明△ABD与△AEB是直角三角形的大前提、小前提及结论。

生答：因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形（大前提）；在△ABD中，AD⊥BC，∠ADB＝90

（小前提）；所以△ABD是直角三角形.（结论） 设问2：请同学们结合（1）用三段论推理模式证明DM11AB；EMAB。

22生答：方案（1）：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线

所以DM11AB; EMAB;所以DMEM

22方案（2）：因为直角三角形斜边上的中点是它的外心，

直角

△ABD与直角△AEB的外心相同，都是M 所以DM=EM

【师点评】：方案（1）以“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”为大前提，以AB为桥梁，证明DM=EM。方案（2）以“直角三角形斜边上的中点是它的外心”为大前提，而△ABD与△AEB的外心相同，来证明DM=EM 例题2：.证明函数f(x)x2x在(－∞，1)内是增函数。

设问1：证明“函数是增函数”的大前提是什么？

生答：方案（1）增函数的定义：设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1

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增函数

方案（2）函数f(x)在区间D内连续可导，当f(x),0时的区间即为它的递增区间。

【师点评】这两个方案的大前提都是正确的。

设问2：问题2的小前提是什么？

生答：函数f(x)x22x，x(,1)是一种特殊的函数。

设问3：请同学们用三段论证明函数f(x)x22x在(－∞，1)内是增函数。

x1,x2(,1),且x1x2,生答：方案（1）证明：任取 22f(x)f(x)(x2x)(x2x2)(x2x1)(x2x12).12112 因为x1x2,所以x2x10;因为x1,x21,所以x2x120.

因此,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以f(x)x22x在(,1)满足增函数定义，于是，根据增函数的定义可知，

函数f(x)x22x在(－∞，1)内是增函数。

f(x)x2x,所以方案（2）

证明：因为

2f'(x)2x22(x1),又因为x(,1),即x1, 所以x10, 从而2(x1)0,即f'(x)0,所以f(x)x22x在(,1)有f'(x)0. 由函数的单调性与其导数的关系知：函数f(x)x2x在(－∞，1)内是增函数

【师点评】：以上这两种方案都紧扣“三段论”来证明，由此可见，结论的大前提可以有多种，只要是正确的，那么结论一定正确。

例题3：已知数列{an}的前n项和为snn22n （1）

计算a1,a2,a3,a4,a5，并猜想an等多少？

2生答：a11;a21;a33;a45;a57 猜想an2n3 （2）

证明你的猜想。

生答：方案（1）因为等差数列的通项公式ana1(n1)d（大前提）由前5项的特点知数列{an}是首项为a11，公差d=2的数列（小前提）所以an2n3。（结论）

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s1;n1方案（2）由an

可得当n=1时，a1s11；当n2时，ss;n2nn1ansnsn12n3，综上所述，an2n3。

【师点评】方案（1）的做法是片面的，它实际上是一个合情推理，原因是这位同学是由特殊到一般进行推理的。方案（2）的做法正确，这道题还可以用后面我们将要学习的数学归纳法来证明。像上面这样，通过特殊例子，先猜后证，是我们发现问题的重大方法之一。

六、导结：今天这节课你学到了什么？

生答： 1、演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论

。 2、演绎推理的重要模式——“三段论”的关键是：

弄清楚正确的大前提、小前提及结论

3、合情推理与演绎推理的区别：（1）推理形式 （2）推理结论 （3）联系与区别

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