1.3 二项式定理（通用）教学设计(第二课时)

第一章计数原理

二项式定理的综合应用

教学目标：

（一）知识与技能

1、能熟练地应用二项式定理的展开式及有关概念。

2、会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题。

（二）过程与方法

在教学中教给学生怎样应用数学公式，如何准确、灵活的应用二项展开式及其通项公式。

（三）情感、态度、价值观

通过对二项式定理的复习，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。

教学重点：

运用展开式的通项公式求展开式的特定项、二项式系数及系数的最值问题

教学难点：

转化思想的培养、计算能力的培养

教学方法：

探究式、启发式、合作式、讲练结合

学法指导：

在例题中培养解题常规方法及思想，通过课堂即时练习强化巩固。

教学过程：

教师活动：这节课我们在学习二项式定理和性质的基础上进一步学习二项式展开式的一些综合应用。在近年的高考命题趋势中二项式定理是高考的热点之一，每年一道题，常以选择、填空形式出现。大家来看看高考数据统计。接下来我们先复习一下上次课所学知识点。

教师活动：板书标题(二项式定理的应用、一、复习)．

【问题一】设置问题，师生互动，巩固知识。

教师活动：请同学们思考并回答下列问题。

学生活动：回答。

1、二项展开式及通项公式？及其一共多少项？

1

0n1n12n22rnrrn1nn(ab)nCnaCnabCnab……+Cnab……+Cnabn1Cnb

其通项是Tr1Cnarnrbr

（r=0,1,2,……,n），共n+1项。

2、在通项公式中二项式系数与展开式项的系数有哪些异同？

在Tk＋1＝Cnakn－kkb中，Ckn就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；而

Tk＋1项的系数是指化简后字母外的数。

3、二项式系数的四个性质还记得吗？(杨辉三角的规律) n－m(1)性质1：Cm；

对称性

n＝Cnr－1r(2)性质2：Crn＋1＝Cn＋Cn；

(3)二项式系数的最大值：

当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即C最大；

当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即Cn12n＝n2nCn12n最大；

012nn（4）二项式系数之和Cn＋Cn＋Cn＋…＋Crn＋…＋Cn＝2，所用方法是赋值法．

奇数项和偶数项的二项式系数和

_________

二项展开式的系数和如何求？____________ 【问题二】课前展示、点评

教师活动：我们一起来看看，同学们的课前展示。这是学案上的两个题。大家知道题的出处吗？

学生活动：依照学案，课前在黑板板演。

（1）、(2xx)5的展开式中,x3的系数是__________.(用数字填写答案) 2016·全国Ⅰ理，14 （2）、设m为正整数，(xy)展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( ) A、5

B、6

C、7

D、8 2013全国Ⅰ理，9 教师活动:哪位能同学回答一下，在这两个题目中关键是用到了什么？如果要求二项式系数呢？答案一样吗？

学生活动：回答。

教师活动：这两题都是近年的高考原题。看来大家通过前两天的学习已经能够拿下一些部分高考题了。接下来我们在一起探讨三个题型，让我们更有把握在二项式题中拿分。

教师活动：变式引申、一题多解

2

【典型例题】二项展开式的灵活应用，基础知识、能力的强化。

教师活动：用PPT课件展示题目。

题型一：二项展开式的特定项问题

(3x1x)n例1 ：若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（

）。

(A)-540 (B) -162 (C)162 (D)540 学生活动：分析、思考、练习本演练

教师活动：已知展开式中的各项和，用赋值法求出n，再用通项公式和待定系数法求出常数项。

教师活动：板演解题步骤（PPT）、一题多解。

解析：令x=1的各项系数和为(3-1)n =64,n=6，设第r+1项为常数项，则

rTr1C6(3x)6r(1xr3r)r(1)r36rC6x

由题知 3-r=0 ∴r=3∴第4项为常数项，即T4540故选A。

教师活动：常用通项公式，用待定系数法，设第r+1项满足条件，整理

后的指数满足条件或为有理数或为0，列出关于r的方程，求出r，代入通项公式即得。

教师活动：接下来我一起来做一个练习，限时3分钟。PPT展示题目。

学生活动：分析、思考、练习本演练、讨论

练习1：展开式中的系数为(

) A.15 B.20 C.30 D.35 教师活动：展台展示，总结点评。

题型二：多个二项式乘积展开式的特定项问题

8(xy)(xy)例2

(2014全国Ⅰ理，13)的展开式中

x2y7的系数为（）.(用数字填写) 学生活动：分析、思考、练习本演练

教师活动：先把其中次数较低的二项式展开，再分析这个展开式取各项时，要得到所求项，另一个二项式展开式取项情况，再分类讨论求之。

教师活动：板演解题步骤。（PPT）

r8rr解析：(xy)8展开式的通项为Tr1C8xy(r0,1,,8)

3

7626T8C8xy78xy7 T7C8xy28x2y6

72627(xy)(xy)8的展开式中通项含x2y7的项为，x8xyy28xy20xy故系数为20。

教师活动：接下来我一起来做一个练习，限时5分钟。PPT展示题目。

a1练习2：(2011·课标全国)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该xx展开式中常数项为(

)。

A．－40

B．－20

C．20

D．40 学生活动：分析、思考、练习本演练、讨论

教师活动：展台展示，总结点评。

解析：令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1。

1111因此(x＋)(2x－)5展开式中的常数项即为(2x－)5展开式中的系数与xxxxx的系数的和。

15－r5－r5－2r(2x－)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr·(－1)r·x－r＝Crx·(－1)r。

5(2x)52x令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，

5－2因此(2x－)5展开式中x的系数为C2(－1)2＝80。

521x令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，

115－3因此(2x－)5展开式中的系数为C3·(－1)3＝－40。

52xx11所以(x＋)(2x－)5展开式中的常数项为80－40＝40。

xx题型三：求最大系数或系数最大的项

例3、在(3x－2y)20的展开式中，求：

(1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项；

（3）变式：系数最大的项（作业）

学生活动：分析、思考、练习本演练

教师活动：可先根据条件列方程求n，然后根据二项式系数的性质及系数的大小关系求二项式系数最大的项、系数最大的项。

教师活动：板演解题步骤。（PPT）

4

教师活动：接下来我一起来做一个练习，限时7分钟。PPT展示题目。

3练习3：已知(x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992。

（1）求该展开式中的二项式系数最大的项。

（2）求该展开式中的系数最大的项。

学生活动：分析、思考、练习本演练、讨论

教师活动：展台展示，总结点评。

解析：令x＝1，得各项的系数之和为(1＋3)n＝4n

12nn二项式系数之和为C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2

根据题意，4＝2＋992，得2＝32或2＝－31(舍去)，所以n＝5。

（1）二项式系数最大的项为第3项和第4项，

T3＝C(x)(3x)＝90x，T4＝C(x)(3x)＝270x3。

rrr＋1r＋1C5·3≥C5·3，（2）设第r＋1项系数最大，则rrr－1r－1C5·3≥C5·3，25nnnn323226353222322

13≥5－rr＋1，即31≥r6－r，

79解得≤r≤。

2226又r∈N，得r＝4，所以系数最大的项为T5＝405x3. 小结：展开式的系数和与展开式的二项式系数和是不同的概念，二项式系数最大的项与系数最大的项也是不同的概念，解题时要注意辨别．第(2)小题解不等式时可将组合数展开为阶乘形式。

【思考】

1、利用二项式定理进行整除

（1）求证：5151－1能被7整除；

（2）：求1.9975精确到0.001的近似值．

2、三项式或多项式的处理

(2015全国Ⅰ理，10)(xxy)的展开式中，xy的系数为（

）

(A)10

(B)20

(C)30

(D)60

5 2552

学生活动：分析、思考、练习本演练

教师活动：寻找题目中数字之间的联系。

5115050501、(1)证明

：因为5151－1＝(49＋2)51－1＝C05149＋C5149·2＋…＋C5149·2515151＋C5151·2－1，易知除C512－1以外其余各项都能被7整除．

171161617又因为251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C0177＋C177＋…＋C177＋C17－1 161151651＝7(C0177＋C177＋…＋C17) 显然能被7整除，所以51－1能被7整除．

（2）：求1.9975精确到0.001的近似值．

解

1.997＝(2－0.003)

514232323414＝C052－C5×2×0.003＋C5×2×0.003－C5×2×0.003＋C5×2×0.00305－C55×2×0.003≈32－0.24＋0.000 72≈31.761. 552、【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．

【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1=令r=2，则（x2+x）3的通项为∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=，

，令6﹣k=5，则k=1，

=30． 故选：C．

教师活动：接下来我一起来做一个练习，限时8分钟。PPT展示题目。

学生活动：分析、思考、练习本演练、讨论

练习4 求证：32n28n9(nN)能被64整除．

策略：把32n2拆成与8的倍数有关的和式．

教师活动：展台展示，总结点评。

点评：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆成与除数的倍数有关的和式．

反思与感悟

(1)利用二项式定理可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧。

（2）近似计算是二项式定理的重要应用，用二项式定理近似计算也是分析问题、解决问题的主要体现，在高考中时有考查。

课时小结

6

一、核心是二项式展开式、通项公式、系数、二项式系数的特征处理。重点内容反复强调、详析典型例题及针对训练，形成了典型问题解题模式及思维方法的延伸。

二、强调赋值法、待定系数法等的使用；进一步培养分类讨论、转化、准确计算等方面的能力。

三、高考真题的训练，体会到了高考中二项式的考查难度、力度。也树立了学好本节、学好数学的信心。

课后作业

1、

1x2、在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理42xn项。（有理项定义：系数为有理数，次数为整数的项叫做有理项）

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决。

解：二项式的展开式的通项公式为：Tr1C(x)前三项的r0,1,2.得系数为：t11,t2C1n由已知：2t2t1t3r8rnnr1r1Cxn4r22xr2n3r4

1111n,t3C2n(n1)，

n22481n1n(n1)，∴n8

8163r41通项公式为Tr1Crx2r0,1,28,Tr1为有理项，故163r是4的倍数，

∴r0,4,8.

4依次得到有理项为T1x4,T5C813512812xx,TCxx。

9848282256

7

3、课后习题作业P37-P40。

板书设计 二项式定理——特定项的求法

一、知识点归纳

（一）二项展开式、通项

（二）二项式系数的性质

二、题型与方法

题型一：二项展开式的特定项问题

题型二：多个二项式乘积展开式的特定项（三）二项式系数与展开式项的系问题

数的异同

（四）高考题演练

题型三：求最大系数或系数最大的项

思考：1、整除性证明 2、三项式的处理

课时小结、 作业

教学反思：

本节课完成了，既定目标，带领学生完成典型题型的学习。通过一题一练，加强了题型的特征掌握。但是在讲解过程中，没有带着学生细致的分析、详细计算。

张定雄

孝义五中 2018.6.16

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