1.3 二项式定理（通用）教学实录

1.3.1二项式定理教学设计(第一课时) 西安高新第一中学

袁博

1.教学目标

在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它作为计数原理的一个应用,另一方面也为学习随机变量及其分布作准备.另外,由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式,这对深化组合数的认识有好处.总之,二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识

本节课要在用计数原理分析(a+b)2展开式的基础上,得出二项式定理的猜想,并对通项公式加以应用

2.教学重点与难点

重点:用计数原理分析(a+b)2的展开式,归纳得到二项式定理，掌握二项式定理的通项公式，能用它解决简单问题

难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开时各项系数的规律

3.教学基本流程

①提问:如何展开(a+b)n? ②探究(a+b)2的展开式

③让学生探究(a+b)3

,(a+b)4的展开式

④得出二项式定理的猜想

⑤应用二项式定理

4.教学情境设计

教师活动

教师提出课题:二项式定理是研究(a+b)n”的展开式

的思想方法. 问题1：(a+b)2你是如何展开的？他的结果是多少？

问题2：(a+b)3你是如何展开的？他的结果是多少？

问题3：当n=4,5,6...时还能按照上述方法展开吗？

设计意图

学生活动

提出课题,回顾回答问题1,2,3，发相关知识，为探现n越大越难展开

究二项式定理做准备

教师活动

为了学生联系计数原理解释展开多项式的过程，设计两个摸球的实际问题

问题4：实例1中共有几种结果？每种结果有几种取法？

问题5：实例2中共有几种结果？每种结果有几种取法？

设计意图

引导学生用计数原理理解多项式的展开过程

启发学生展开多项式(a+b)2，(a+b)3

学生活动

教师引导学生分析展开式中同类项的形式和每一种类型，得到(a+b)2展开式的对分析展开式的意义

系数

这是教学的难点

类比实例1，得到实例2 的结果，并解释(a+b)3

中每一项系数的意义

教师活动

问题6：类比多项式(a+b)2，(a+b)3 的展开式，(a+b)4的展开式是多少呢？

问题7；启发学生猜想(a+b)n

设计意图

巩固已有思想方法, 建立猜想二项式定

理的认知基础.

学生活动

学生独立完成猜想,并由学生自己讲解(a+b)n

展开过程.

教师活动

设计意图

学生活动

问题8：你能解释一下各项系数巩固计数原理推合作讨论，分析每一项系数的含义

的含义吗？

导二项式定理的过程

教师活动

问题9：通过观察分析，二项式的项数，次数，系数都有什么特点呢？通项如何理解？

指出二项式定理中a,b可以是数字，字母，或者是代数式，只要具备二项式的形式就可以用定理展开

设计意图

深入理解二项式定理的特点，核心是理解通项公式的特点

学生活动

学生回答二项式的项数，次数，二项式系数，通项

教师活动

设计意图

完成例1，分两个小组完成，并点评

熟悉二项展开式

学生活动

教师引导学生独立完成,注意系数的正负

教师活动

讲解例2，

设计意图

学生活动

能用通项公式求特定项及教师引导学生独立完成练习

特定项系数

教师活动

设计意图

学生活动

引导学生合作讨论如何求特帮助学生灵活使用通项公学生尝试完成

定项

式求特定项

教师活动

课后思考，思维提升

设计意图

学生活动

正确理解计数原理求特定课后思考

项，及正确使用通项

教师活动

设计意图

学生活动

小结:本节课的知识要点，思对本节课所学思想方法加先让学生自己总结、表述,教师再想方法

以巩固

补充.

5.两点说明

(1)得到二项式定理的猜想完全依赖于对(a+b)2的展开式分析,因此要舍得在这个问题上多花

些时间让学生多开展思维活动

(2)实际上,用计数原理对展开式的分析,关键是考察“一件事”是什么和如何完成这件事.这

里,要完成的“一件事”就是得到(a+b)n”展开式的项an-kbk,可以分两步完成:第一步,从n-k 个(a+b)中取字母a;第二步,从剩下的k个(a+b)中取字母b

6.

板书设计

二项式定理

一．二项式定理

二．应用