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数列综合应用

一、数列求和

（一）分组转化求和

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1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之；

2、常见类型及方法

(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；

(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；

(3)an＝bn±cn或an{an}的前n项和. 注：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值。

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例题解析※

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【例】(1)已知数列: 1,(1),(1bn n为奇数cn n为偶数，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求1211111),,(1n1),,则其前n项和Sn=__________ 242425n1 n为奇数 (2)已知ann

22 n为偶数①求数列{an}的前10项和S10; ②求数列{an}的前2k项和S2k. 【方法诠释】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和. (2)把奇数项和偶数项分开求和.

（二）错位相减法求和

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1、一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法；

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2、用错位相减法求和时，应注意

（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的Sn-qSn的表达式。

3、利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。

※例题解析※

〖例〗已知数列an满足a1,a2a1,a3a2,（1）求an；

（2）如果a=2,bn(2n1)an，求数列{bn}的前n项和Sn。

思路解析：（1）根据题意得到表达式，再用累加法求通项；（2）利用错位相减法求和。

（三）裂项相消求和

※相关链接※[ 1、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；

2、一般情况如下，若an是等差数列，则根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和

3、常见的拆项公式有：

（1）,anan1,是首项为1，公比为a的等比数列。

11111111()，()，此外anan1danan1anan22danan2111;

nn1nn11111();

nnkknnk111();

2n12n122n12n11111［］;

nn1n22nn1n1n22 （2）（3）1（4）

（5）1nnk1(nkn).

k※例题解析※

【例】（2012·大连模拟）已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2，

(1)求{an}的通项公式; (2)设bn1数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值.

，anan1【方法诠释】(1)利用Sn+1-Sn=an+1寻找an+1与an的关系. (2)先用裂项法求Tn,再根据数列{Tn}的单调性求最小值.

（四）数列求和的综合应用

〖例〗设数列an满足a1a，an1can1c,nN,其中a,c为实数且c0.

（1）求数列an的通项公式；

（2）设，，，求数列bn的前n项和Sn；

（3）若0an1对任意nN成立，证明0c1

1xf(x)a(a0,且a1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项3〖例2〗已知点（1，）是函数{b}(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn1=Sn+Sn1（n2）. 和为f(n)c,数列n（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

11000}TTbb（2）若数列{nn1前n项和为n，问n>2009的最小正整数n是多少？

注：数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知函数条件，解决数列问题。此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题。解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。

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