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解三角形

一．课标要求

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

（2）能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二．命题走向

对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。

三．要点精讲

1．直角三角形中各元素间的关系：

2．斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：

abc2R。（R为外接圆半径）

sinAsinBsinC22222222（3）余弦定理：a＝b＋c－2bccosA；b＝c＋a－2cacosB；c＝a＋b－2abcosC。

2b2c2a2sinAa它们的变形形式有：a = 2R sinA，。

，cosA2bcsinBb3.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

因为在△ABC中，A+B+C=π，

所以sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=－cosC；

tan(A+B)=－tanC. sin4．三角形的面积公式：

ABCABCcos,cossin

2222111aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

222111（2）S＝absinC＝bcsinA＝acsinB；

222（1）S＝（3）S＝2RsinAsinBsinC。（R为外接圆半径）

（4）S＝（5）S＝2abc；

4R1p(pa)(pb)(pc)；p(abc)；

2（6）S=r*p(其中r为内切圆半径，p为周长的一半) 小题快练：

1.

已知△ABC中，ABa，ACb，ab0，SABC则BAC（ ） A.．

30 B ．150 C．150 D．

30或150

1

0015，a3,b5，

4

2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a、b、c，若bsinA=3csinB，a=3，cosB=A.14 B .6 C．

14 D．6 角A,B,C所对的边分别为a、b、c，若cosA=4.

在△ABC中，2则b=( ) 345，cosC=,a=1,则b=____. 5135．

在ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC= 53，CD=5，BD=2AD,则AD=______.

四．典例解析

例1 .

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a、b、c，a(1)

若A=90°，求△ABC的面积；

(2)

若△ABC的面积为

2

14cosC,b=1. a3，求a、c. 2

练习：

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a、b、c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c. (1) 求C；

(2)若c=7,△ABC的面积为

例2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=______m . 33，求△ABC的周长. 2

练习：

如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A,B两点相距130m,则塔的高度CD=________m.

3

五．课时小结

1．解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A、B、C），_______________________________________ . （2）已知两边和夹角（如a、b、c）,________________________________________. （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），______________________________. （4）已知三边a、b、c，____________________________________________________. 这几种情况如何解答，一定要弄清楚。

abc斜2S2．三角形内切圆的半径：r，特别地，r直；

abc2bacosCccosA，3．三角形中的射影定理：在△ABC 中，___________________, ____________________________. 4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，ABsinAsinB

5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

六．随堂检测：

1．在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC,

求b.

2.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos（1）求ABC的面积； （2）若c1，求a的值．

A25，ABAC3． 25七．课后作业：

1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，

且a－c=ac－bc，求∠A的大小及22bsinB的值。

c2.在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA510

,sinB510（1）求AB的值；

（2）若ab21，求a、b、c的值。 4