复习题28PPT及专用教学设计内容

中考专题解直角三角形应用专题教学

学情分析：学生通过本章的知识的学习已经掌握了正弦、余弦等三角函数基础知识。但是对解直角三角形的综合应用还有欠缺。一部分学生只是懂了，但解题的规范和解题速度还有待提高，故此收集几年的中考题以此练习来巩固所学。

教学目标：1、提高解题正确和速度能力

2、针对所学会归纳知识模型，形成体系

3、通过对基础的训练增强数学学习信心

教学方法：

1、学生课前完成专练——课上交流学习——归纳总结（先从解题思路到格式要求。从涵盖知识点引用提升，从一般辅助线方法到特殊。要求学生抽象出几何模型）2、分层教学及翻转课堂。

教学对象：初三学生分层次之后的优中差学生均可。

教学内容：初三专题复习课

教学过程：学生课前完成6道自选题，课上先小组交流后：老师出示问题：1、总结所做题目的知识点2、归纳知识（涵盖几何基本模型）及作辅助线的方法3、课堂上要求学生独立并在6分钟以内迅速完成一道题目

专题甄选如下21题。剩余没做作为课后训练。训练要求：课上效率高的做5道。速度慢的8道题目自选。

板书：以学生为主。师生修改为辅！认真强调格式的规范。

1、在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，延长线于点D，

设CD=x米，

∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，

∴BD=CD=x米，

∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，

交AB第1页（共13页）

∴tanA=，即，

=，

解得：x=2+2答：该雕塑的高度为（2+2

）米．

2．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：

≈1.414，≈1.732，结果取整数）．

【解答】解：过C作CD⊥AB，

在Rt△ACD中，∠A=45°，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴AD=CD=AC=50海里，

在Rt△BCD中，∠B=30°，

∴BC=2CD=100海里，

海里，

≈193海里，

根据勾股定理得：BD=50则AB=AD+BD=50+50则此时船锯灯塔的距离为193海里．

3．2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留【解答】解：∵EC∥AD，

∴∠A=30°，∠CBD=45°，CD=200，

∵CD⊥AB于点D．

∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=∴AD=，

，

B、D在同一根号）

第2页（共13页）

在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°

∴DB=CD=200，

∴AB=AD﹣DB=200﹣200，

﹣200米．

答：A、B两点间的距离为200

4．小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，

∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，

∴CD=AD•tan∠CAD=∴BC=CD﹣BD=∴AD=15

5．我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）

AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，

AD=30，

≈25.98．

【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，

由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），

∠BAC=30°，∠BCA=45°，

在Rt△ABD中，

∵∴AD=400，即（米），

，

在Rt△BCD中，

第3页（共13页）

∵，即，

∴CD=400（米），

∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），

答：隧道最短为1093米．

6．随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.732，结果精确到1海里）．

【解答】解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．

∵AP=400海里，

∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，

故PC=200海里．

≈1.414，又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，

∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．

答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6海里．

7．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．

（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

第4页（共13页）

【解答】解：由题意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，

在直角三角形ACD中，CD=AC•cos∠ACD=27.2海里，

在直角三角形BCD中，BD=CD•tan∠BCD=20.4海里．

答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．

8．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．

（1）求景点B与C的距离；

（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）

【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，

∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，

∴∠CAB=∠C=30°，

∴BC=AB=10km，

即景点B、C相距的路程为10km．

（2）过点C作CE⊥AB于点E，

∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，

∴∠CBE=60°，

在Rt△CBE中，CE=

9．为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：

km．

≈1.414，≈1.732）

【解答】解：作PD⊥AB于D．

设BD=x，则AD=x+200．

∵∠EAP=60°，

∴∠PAB=90°﹣60°=30°．

第5页（共13页）

在Rt△BPD中，

∵∠FBP=45°，

∴∠PBD=∠BPD=45°，

∴PD=DB=x．

在Rt△APD中，

∵∠PAB=30°，

∴CD=tan30°•AD，

即DB=CD=tan30°•AD=x=解得：x≈273.2，

∴CD=273．

答：凉亭P到公路l的距离为273m．

（200+x），

10．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈l．ll，tan58°≈1.60．

【解答】解：如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，

∴AE=BC=78，AB=CE，

在Rt△ACE中，EC=AE•tan58°≈125（m）

在RtAED中，DE=AE•tan48°，

∴CD=EC﹣DE=AE•tan58°﹣AE•tan48°=78×1.6﹣78×1.11≈38（m），

答：甲、乙建筑物的高度AB为125m，DC为38m．

11．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，

≈1.73）

【解答】解：如图作AE⊥BD于E．

在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，

∴BE=AB=5（m），AE=5（m），

第6页（共13页）

在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），

∴BD=DE+BE=12.79（m），

∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），

答：标语牌CD的长为6.3m．

12．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．

【解答】解：作DF⊥AC于F．

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°﹣30°=15°，∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°﹣30°=15°，

∵DF：AF=1：∴tan∠DAF=∴∠DAF=30°，

，AD=200米，

，

∴∠ABD=∠BAD，

∴AD=BD=200米，

在Rt△BDE中，∴DF=AD=×200=100，

∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，

∴四边形DECF是矩形，

∴EC=BF=100（米），

∵∠BAC=45°，BC⊥AC，

∴∠ABC=45°，

∵∠BDE=60°，DE⊥BC，

∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣60°=30°，

sin∠BDE=，

∴BE=BD•sin∠BDE=200×=100，

（米）．

∴BC=BE+EC=100+10013．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．

（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；

（2）求斜坡CD的长度．

第7页（共13页）

【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，

则AC===20（米）

米．

答：坡底C点到大楼距离AC的值是20

（2）设CD=2x，则DE=x，CE=在Rt△ABC中，∠ABC=30°，则BC===60x，

∴60﹣x=20∴x=40+x，

﹣60，

﹣120，

﹣120）米．

（米），

∴CD=2x=80∴CD的长为（80在Rt△BDF中，∵∠BDF=45°，

∴BF=DF，

14．某次台风袭击了我国西南部海域．如图，台风来临前，我国海上搜救中心A接到一渔船遇险的报警，于是令位于A的正南方向180海里的救援队B立即施救．已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？

【解答】解：过点C作CD⊥AB延长线于点D，

∵∠DAC=34°，∠DBC=63°，

∴设BD=x，则tan63°=∴tan34°==，故CD=BDtan63°=xtan63°，

，

解得：x≈94.3，

故cos63°==，

解得：BC≈207.7，

207.7÷20≈10.4（小时），

答：如果救援船每小时行驶20海里，能在台风来到之前赶到C处对其施救．

15．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航第8页（共13页）

线l的距离为2km点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处．

（1）求观测点B到航线l的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）参考数据：cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

≈1.73，sin76°≈0.97，【解答】解：（1）设AB与l交于点O．

在Rt△AOD中，

∵∠OAD=60°，AD=2（km），

∴OA==4（km）．

（2）在Rt△AOD中，OD=AD•tan60°=2（km），

在Rt△BOE中，OE=BE•tan60°=3（km），

∴DE=OD+OE=5（km）．

∵AB=10（km），

∴OB=AB﹣OA=6（km）．

在Rt△BOE中，∠OBE=∠OAD=60°，

∴BE=OB•cos60°=3（km）．

答：观测点B到航线l的距离为3km．

在Rt△CBE中，∠CBE=76°，BE=3（km），

∴CE=BE•tan∠CBE=3tan76°．

∴CD=CE﹣DE=3tan76°﹣5∵5（min）=∴v==h，

≈3.38（km）．

=12CD=12×3.38≈40.6（km/h）．

答：该轮船航行的速度约为40.6km/h．

16．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=4km．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．

（1）求点P到海岸线的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）

【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．

在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，

∴BD=PD=xkm．

第9页（共13页）

在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，

∴AD=PD=xkm．

∴BF=AB=2km．

在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．

在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，

∴BC=BF=2 km，

km．

∵BD+AD=AB，

∴x+x=2 x=4，

﹣2，

﹣2）∴点C与点B之间的距离大约为2∴点P到海岸线l的距离为（2 km；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．

根据题意得：∠ABC=105°，

在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，

17．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度=1：3，AD=9米，点C在DE上，CD=0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高

2.4

米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）

【解答】解：据题意得tanB=，

∵MN∥AD，

∴∠A=∠B，

∴tanA=，

∵DE⊥AD，

∴在Rt△ADE中，tanA=∵AD=9，

，

∴DE=3，

又∵DC=0.5，

∴CE=2.5，

∵CF⊥AB，

∴∠FCE+∠2=90°，

∵DE⊥AD，

∴∠A+∠CEF=90°，

∴∠A=∠FCE，

第10页（共13页）

∴tan∠FCE=

在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2

设EF=x，CF=3x（x＞0），CE=2.5，

代入得（）2=x2+（3x）2

解得x=（如果前面没有“设x＞0”，则，舍负”），

≈2.4，

此处应“x=±∴CF=3x=∴该停车库限高2.4米．

故答案为2.4．

18．如图所示，在坡角为30°的山坡上有一竖立的旗杆AB，其正前方矗立一墙，当阳光与水平线成45°角时，测得旗杆AB落在坡上的影子BD的长为8米，落在墙上的影子CD的长为6米，求旗杆AB的高（结果保留根号）．

【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，

在Rt△BFD中，

∵∠DBF=30°，sin∠DBF=cos∠DBF=∵BD=8m，

∴DF=4m，BF=4m，

=，

=，∴四边形BFCE为矩形，

∴BF=CE=4m，CF=BE=CD﹣DF=2m，

在Rt△ACE中，∠ACE=45°，

∴AE=CE=4∴AB=4m，

+2．

+2）m．

答：旗杆AB的高为（4∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，

19．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：（1）求通道斜面AB的长为

3．

米；

（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为第11页（共13页）

30°，求此时BE的长．（结果保留根号）

【解答】解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，

∵∠BCD=135°，

∴∠DCM=45°．

∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，

∴DM=CM=∴AN=DM=3CD=3，

，

，

即通道斜面AB的长约为3故答案为：3

米；

；

（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3∴EM=DM=3，

﹣3，

）=8+3﹣，

∴EC=EM﹣CM=3∵通道斜面AB的坡度i=1：∴tan∠ABN=∴BN=∴AB=

=，

∴BE=BC﹣EC=8﹣（33．

﹣3即此时BE的长约为（8+3AN=6，

=3．

﹣3）米．

20．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（精确到1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈

，tan22°≈）

【解答】解：（1）过点E作EM⊥AB于点M，

设AB=x，

在Rt△ABF中，∵∠AFB=45°，

∴BF=AB=x，

∴BC=BF+FC=x+20．

在Rt△AEM中，

∵∠AEM=22°，AM=AB﹣CE=x﹣1，

tan22°=，即=，

解得，x=15．

∴办公楼AB的高度为15米；

（2）在Rt△AME中，∵cos22°=，

第12页（共13页）

∴AE=

=37米．

∴A，E之间的距离为37米．

21．如图，我市某中学数学兴趣小组决定测量一下本校教学楼AB的高度，他们在楼梯底部C处测得∠ACB=60°，∠DCE=30°；沿楼梯向上走到D处测得∠ADF=45°，D到地面BE的距离DE为3米．求教学楼AB的高度．（站果精确列1米，参考数据：1.4，≈1.7）

【解答】解：如图，

在Rt△DCE中，∵∠DCE=30°、DE=3，

∴CD=2DE=6，

∵∠ACB=60°，

∴∠ACD=180°﹣∠DCE﹣∠ACB=90°，

∵∠CDF=∠DCE=30°，

∴在Rt△DCF中，DF===4，

设AG=x，

∵∠ADF=45°，

∴DG=AG=x，FG=DG﹣DF=x﹣4，

在Rt△AFG中，∵∠AFG=∠ACB=60°，

∴tan∠AFG=，即=，

解得：x=6+6，即AG=6+6，

∴AB=AG+BG=6+6+3=9+6≈19（米），

答：教学楼AB的高度约为19米．

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