复习参考题教学评价实录

基本不等式复习

一、知识回顾：

1、基本不等式：如果a>0，b>0，那么__________________，当且仅当a=b时“=”成立；

用文字描述为：两个正数的_____平均数不小于它们的_____平均数。

2、基本不等式的几种变形：

（1）a+b≥2ab(ao，b0)，当且仅当a=b时“=”成立；

(ab)2(a0，b0)，当且仅当a=b时“=”成立；

（2）ab≤4112(a0)，当且仅当a=b时“=”成立；a2(a0)，当且仅当a=b时“=”成立；

aaba（4）2（a、b 同号），当且仅当a=b时“=”成立；

ab3、几个重要不等式：

（1）平方不等式：a2+b2≥2ab(a、b∈R)，当且仅当a=b时“=”成立；

（3）aabab（2）均值不等式：112ab4、利用基本不等式求最值：

2a2b2（a>0，b>0），当且仅当a=b时“=”成立；

2s2（1）若x+y=s（和为定值），则当x=y时，积xy取最大值（和定积最大）；

4（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取最小值2p（积定和最小）；

求最值时的注意事项：一正、二定、三相等

二、典型例题：

题型一、利用基本不等式求最值

典例1、（1）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值为__________；

11（2）已知a>0，b>0，则2ab的最小值是__________；

ab（3）已知x>1，y>1，且lgx+lgy=4，则lgx·lgy的最大值是_________；

（4）下列函数中，最小值为2 的函数是（

）

111x23,x(0,]

C、f(x)A、f(x)=x+(x0)

B、f(x)sinx

D、f(x)exx

xsinx2ex22（5）已知函数f(x)4xa(x0，a0)在x=3时取得最小值，则a=__________；

x（6）设正实数x、y、z满足x2-3xy+4y2=0，则z取得最小值时，x+2y-z的最大值为（ ）

xy99A、0 B、 C、2 D、

84（7）已知a，b，c都是实数，且b、c同号，若a（8）函数f(x)x11bc11，则(a)(a)的最小值为_______；

bcaac14(x2)，则f(x)有（ ）

x2A、最大值0 B、最小值0 C、最大值-2 D、最小值-2 +（9）已知x、y∈R，且x+4y=1，则xy的最大值是________；

（10）已知0x2a213，则函数y=x(1-3x)的最大值是________；（11）设a>b>c>0，则1110ac25c2的最小值为（

）A、2

B、4

C、25

D、5

aba(ab)2n21，则m1n2的最大值为__________；

（12）设m>0，n>0，m21a（13）若不等式(xy)()9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为_________；

xy典例2、（1）已知x>0，y>0，且19（2）若正实数x、y满足1，则x+y的最小值为________；xy2428

B、

C、5

D、6 55x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（

）A、（3）函数f(x)1logax(a0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0上，则

11的最小值为________；

mn题型、利用基本不等式求范围

典例3、（1）若正实数x、y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是_________；

（2）若正实数x、y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是_________；

（3）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是9

)A 、3

B、4

C、911

D、

22题型三、利用基本不等式证明不等式

典例4、（1）已知a、b、c都是正数，求证：(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd；

111（2）已知a、b、c都是正数，且a+b+c=1，求证：9

abc

典例5、（1）已知a、b、c都是实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；

（2）已知a、b、c都是实数，且a+b+c=6，则a2+b2+c2的最下值是多少？

题型四、实际应用题

典例6、某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过am。房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高位3m，且不计房屋背面的费用。当侧面的长度为多少时，总造价最低？