小结课堂实录【2】

基本不等式小结

龙翠英

明目标、知重点

1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

1．用基本不等式求最值的结论

s2(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值为. 4(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值为2p. 2．基本不等式求最值的条件

(1)x，y必须是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．

(3)等号成立的条件是否满足．

[情境导学]

a＋b前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫2做正数a、b的几何平均数．本节我们就最值问题及生活中的实际例子研究它的重要作用．

探究点一

基本不等式与最值

思考1

已知x，y都是正数，若x＋y＝s(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？

s2答

xy有最大值．由基本不等式，得s＝x＋y≥2xy，所以xy≤，当x＝y时，积xy取得最4s2大值. 4思考2

已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？

答

x＋y有最小值．由基本不等式，得x＋y≥2xy＝2p.当x＝y时，x＋y取得最小值2p. 4例1

(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；

x3(2)设0

24(3)已知x>2，求x＋的最小值；

x－2

19(4)已知x>0，y>0，且

＋＝1，求x＋y的最小值．

xy4解

(1)当x>0时，x＋≥2 x4x·＝4，

x4当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．

x4∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4. x3(2)∵00，

2∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

≤22x＋3－2x292＝2. 3当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

4330，. ∵∈4239∴函数y＝4x(3－2x)(02，∴x－2>0，

44∴x＋＝x－2＋＋2 x－2x－2≥2 4x－2·＋2＝6，

x－24当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．

x－24所以x＋的最小值为6. x－219(4)方法一

∵x>0，y>0，＋＝1，

xy19y9x＋(x＋y)＝＋＋10 ∴x＋y＝xyxy≥6＋10＝16，

y9x19当且仅当＝，又＋＝1，

xyxy即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 19方法二

由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．

xy可知x>1，y>9，

∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10

≥2x－1y－9＋10＝16，

当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，

故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 反思与感悟

在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．

12跟踪训练1

(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；

x(2)已知x<3，求f(x)＝4＋x的最大值；

x－3(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

12解

(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2 x12·3x＝12，

x12当且仅当3x＝，即x＝2时取等号．

x∴f(x)的最小值为12. (2)∵x<3，∴x－3<0. 44∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3 x－3x－34＝－3－x＋3－x＋3≤－2 4·3－x＋3 3－x＝－1，

4当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．

3－x∴f(x)的最大值为－1. (3)方法一

由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝∴x＋y＝x＋2x，

x－82x－16＋162x＝x＋

x－8x－816x－8×＋10 x－816＝(x－8)＋＋10≥2 x－8＝18. 16当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．

x－8∴x＋y的最小值是18. 82方法二

由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1. xy

82∴x＋y＝(x＋y)x＋y

8y2x＝＋＋10≥2 xy8y2x·＋10＝18. xy8y2x当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．

xy∴x＋y的最小值是18. 探究点二

基本不等式在实际问题中的应用

例2

(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解

(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，

则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m. 由x＋y≥xy，可得x＋y≥2100，2(x＋y)≥40. 2等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m；

(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2. x＋y18由xy≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立．

22因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2. 反思与感悟

利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．

跟踪训练2

某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

解

设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．

由题意可知，面粉的保管等其他费用为

3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．

设平均每天所支付的总费用为y1元，

1900则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809 xx≥2 9009x·＋10 809＝10 989(元)，

x900当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．

x

所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

例3

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？

4 800解

设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为

m. 3x又设水池总造价为y元，根据题意，得

4 8004 800y＝150×＋120×(2×3x＋2×3×) 33x1 600x＋＝240 000＋720×x

≥240 000＋720×2 1 600x·＝297 600(元)，

x1 600当且仅当x＝，即x＝40时，y取得最小值297 600. x答

水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元．

反思与感悟

应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．

跟踪训练3

一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长v400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．

答案

8 解析

设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则

v400＋1620240016vt＝＝v＋≥2 v40040016vv×400＝8(小时)，

40016v当且仅当v＝，即v＝100时等号成立，

400此时t＝8小时．

11k1．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(

) aba＋bA．0

B．4

C．－4

D．－2 答案

C －a＋b211k解析

由＋＋≥0得k≥，

aba＋bab

a＋b2baa＋b2而＝＋＋2≥4，所以－≤－4，

abababa＋b2因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，

ab即实数k的最小值等于－4.故选C. x2－4x＋552．已知x≥，则f(x)＝有(

) 22x－45A．最大值

2C．最大值1

答案

D x2－4x＋5x－22＋1解析

f(x)＝＝

2x－42x－211x－2＋＝x－2≥1. 21当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．

x－23．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(

) A．6.5 m

B．6.8 m

C．7 m

D．7.2 m 答案

C 1解析

设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋2b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 4．已知0

2－25 解析

当0

5所以f(x)＝2＋log2x＋

log2x5＝2－－log2x＋－logx≤2－25. 25当且仅当－log2x＝，即(log2x)2＝5，

－log2x亦即x＝2－5

B．最小值

4D．最小值1 5的最大值是________．

log2x5时，等号成立．

[呈重点、现规律]

1．用基本不等式求最值

(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数

最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．

(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．

(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不p到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的x单调性求得函数的最值．

2．求解应用题的方法与步骤：

(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．

一、基础过关

1．已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，则lg xlg y的最大值是(

) 1A．4

B．2

C．1

D.

4答案

A 解析

∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，

lg xlg y≤lg x＋lg y22＝4，当且仅当lg x＝lg y＝2，

即x＝y＝100时取等号．

2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(

) A．22

B．42

C．16

D．不存在

答案

B 解析

∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3. ∴2x＋4y≥22x·4y＝22x＋2y＝42. 33当且仅当2x＝4y，即x＝，y＝时，等号成立．

2413．函数y＝log2x＋x－1＋5

(x>1)的最小值为(

) A．－3

B．3

C．4

D．－4 答案

B 11解析

∵x＋＋5＝(x－1)＋＋6 x－1x－1

≥2 1x－1·＋6＝8. x－11∴log2x＋x－1＋5≥3，

∴ymin＝3. 1当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．

x－1144．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(

) ab7A.

29C.

2答案

C a＋b解析

∵a＋b＝2，∴＝1. 21414a＋b52ab5∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2 abab22b2a2149“＝”成立)，故y＝＋的最小值为. ab25．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______．

1答案

4解析

设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则2＋1＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋1212ab，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最2241大值为. 46．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

答案

20 解析

总运费与总存储费用之和

4001 600f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2 xx1 6004x·＝160，

x2ab92ab4·＝(当且仅当＝，即b＝2a＝时，b2a2b2a3B．4 D．5 1 600当且仅当4x＝，即x＝20吨时，f(x)最小．

x7．设0

解

∵02>0，

3x＋8－3x8∴y＝3x8－3x≤＝＝4，

22

4当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．

34∴当x＝时，y＝3x8－3x有最大值4. 38．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 解

设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，

0.2x2＋0.2x10＋0.9x＋2得y＝，

x10x即y＝1＋＋(x∈N*)．

x10由基本不等式知y≥1＋2 10x10x·＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10x10x10年报废最合算，年平均费用为3万元．

二、能力提升

11x＋2＋y＋2的最小值是(

) 9．若xy是正数，则2y2xA．3

C．4

答案

C 11x＋2＋y＋2

解析

2y2xx1y1＝x2＋＋2＋y2＋＋2

y4yx4x11xyx2＋2＋y2＋2＋＋≥1＋1＋2＝4. ＝4x4yyx当且仅当x＝y＝22或x＝y＝－时取等号．

227B.

29D.

2xy21210．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(

) zxyz9A．0

B．1

C.

D．3 4答案

B 解析

由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*) xyxy1则＝2＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，2zx－3xy＋4yx4y＋－3yx

12212111所以＋－＝＋－2＝－y－1＋1≤1. xyzyyyx＋5x＋211．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．

x＋1答案

9 解析

∵x>－1，∴x＋1>0，

设x＋1＝t>0，则x＝t－1，

t＋4t＋1t2＋5t＋44于是有y＝＝＝t＋＋5≥

ttt2 4t·＋5＝9，

t4当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1. tx＋5x＋2∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9. x＋112．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？

购地总费用(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 建筑总面积8 000×10 000解

设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得f(x)＝Q(x)＋

4 000x20 000＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，

x20 000f(x)＝50x＋＋3 000 x≥2 20 00050x·＋3 000＝5 000(元)．

x20 000当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝”

x因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．

所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．

三、探究与拓展

13．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

解

(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，

则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 方法一

由于2x＋3y≥26xy，

∴26xy≤18，得xy≤272，

即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由2x＋3y＝18，x＝4.5，2x＝3y

解得y＝3.

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．

方法二

由2x＋3y＝18，得x＝9－32y. ∵x>0，∴0

S＝xy＝9－32yy＝32(6－y)·y. ∵00，∴S≤36－y＋y2·22＝272. 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，

则l＝4x＋6y. 方法一

∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，

∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3y，xy＝24故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．

方法二

由xy＝24，得x＝24y. ∴l＝4x＋6y＝9616y＋6y＝6y＋y

≥6×2 16y·y＝48. 解得x＝6，y＝4.

16当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6. y故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．