2.1.2 演绎推理主要内容及教案内容

2.1.2

演绎推理

学习目标

1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．

知识点一

演绎推理

思考

分析下面几个推理，找出它们的共同点．

(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；

(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．

答案

问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．

梳理

演绎推理的定义特点

定义

特点

知识点二

三段论

思考

所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？

答案

分为三段．

大前提：所有的金属都能导电．

小前提：铜是金属．

结论：铜导电．

梳理

三段论的一般模式

大前提

小前提

结论

类型一

演绎推理与三段论

例1

将下列演绎推理写成三段论的形式．

一般模式

已知的一般原理

所研究的特殊情况

根据一般原理，对特殊情况做出的判断

常用格式

M是P

S是M

S是P

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理

由一般到特殊的推理

(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；

(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．

解

(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提

菱形是平行四边形，小前提

菱形的对角线互相平分．结论

(2)等腰三角形的两底角相等，大前提

∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提

∠A＝∠B.结论

(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提

当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，

则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提

通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论

反思与感悟

用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

跟踪训练1

(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．

(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为

大前提：________________________________________________________________. 小前提：______________________________________________________________. 结论：________________________________________________________________. 答案

(1)②

(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线

函数y＝2x＋5是一次函数

函数y＝2x＋5的图象是一条直线

类型二

三段论的应用

命题角度1

用三段论证明几何问题

例2

如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．

证明

因为同位角相等，两直线平行，大前提

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提

所以FD∥AE.结论

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提

DE∥BA，且FD∥AE，小前提

所以四边形AFDE为平行四边形．结论

因为平行四边形的对边相等，大前提

ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提

所以ED＝AF.结论

反思与感悟

(1)用“三段论”证明命题的格式

××××××

大前提

××××××

小前提

××××××

结论

(2)用“三段论”证明命题的步骤

①理清证明命题的一般思路；

②找出每一个结论得出的原因；

③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．

跟踪训练2

已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.

证明

因为三角形的中位线平行于底边，大前提

点E、F分别是AB、AD的中点，小前提

所以EF∥BD.结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提

EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提

所以EF∥平面BCD.结论

命题角度2

用三段论证明代数问题

ex例3

设函数f(x)＝2，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

x＋ax＋a解

若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提

因为f(x)的定义域为R，小前提

所以x2＋ax＋a≠0恒成立．结论

所以Δ＝a2－4a<0，

所以0

若例3的条件不变，求f(x)的单调递增区间．

xx＋a－2ex解

∵f′(x)＝2，

x＋ax＋a2由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a. ∵00. ∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)．

当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

当2

∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．

综上所述，当0

当a＝2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；

当2

x－2跟踪训练3

已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

x＋1证明

方法一

(定义法) 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1

x2－2x1－2xxf(x2)－f(x1)＝a2＋－a1－

x2＋1x1＋1x2－2x1－2xx＝a2－a1＋－

x2＋1x1＋1＝a1(a＝a1(axxx2x1x1＋1x2－2－x1－2x2＋1－1)＋

x2＋1x1＋1－1)＋3x2－x1. x2＋1x1＋1x2x1x2x1因为x2－x1>0，且a>1，所以a>1，

而－10，x2＋1>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，

所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

方法二

(导数法) x＋1－3x3f(x)＝ax＋＝a＋1－. x＋1x＋13所以f′(x)＝axln a＋. x＋123因为x>－1，所以(x＋1)2>0，所以>0. x＋12又因为a>1，所以ln a>0，ax>0，

所以axln a>0，所以f′(x)>0. x－2故f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增函数．

x＋1

1．下面几种推理过程是演绎推理的是(

) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人

C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

11D．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋a(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

2n－1答案

A 解析

A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．

2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝log1x是对数函数(小前提)，所以y＝3log1x是增函数(结论)．”下列说法正确的是(

) 3A．大前提错误导致结论错误

B．小前提错误导致结论错误

C．推理形式错误导致结论错误

D．大前提和小前提都错误导致结论错误

答案

A 解析

y＝logax是增函数错误．故大前提错误．

3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是(

) A．①

C．①②

B．②

D．③

答案

D 4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”改成三段论，则大前提：________________；

小前提：________________________________________________________________________；

结论：________________________________________________________________________. 答案

二次函数的图象是一条抛物线

函数y＝x2＋x＋1是二次函数

函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线

5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．

证明

因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，

那么方程有两个相异实根．大前提

方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式

Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4 ＝(2m－1)2＋3>0，小前提

所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论

1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．

2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．

3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．

课时作业

一、选择题

1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(

) A．类比推理

C．演绎推理

答案

C 2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(

) A．结论正确

B．大前提不正确

B．归纳推理

D．一次三段论

C．小前提不正确

答案

C D．全不正确

解析

由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．

3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(

) A．使用了归纳推理

B．使用了类比推理

C．使用了“三段论”，但推理形式错误

D．使用了“三段论”，但小前提错误

答案

C 解析

由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．

4．函数y＝xcos x－sin x在下列哪个区间内是增函数(

) π3πA．(，)

223π5πC．(，)

22答案

B 解析

y′＝－xsin x．当x∈(π，2π)时，y′>0，

∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上为增函数．

5．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(

) A．恒小于0

C．可能等于0

答案

A 解析

不妨设x1－2<0，x2－2>0，

则x1<2，x2>2，∴2

∴f(x2)－f(4－x1)，

从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，

∴f(x1)＋f(x2)<0. 6．下面几种推理中是演绎推理的是(

) A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1) 1111B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*) 1×22×33×4nn＋1x2y2C．由圆x＋y＝r的面积为πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积为πab

ab2222B．(π，2π) D．(2π，3π) B．恒大于0 D．可正也可负

D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中，球的方

程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2

答案

A 7．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(

) A．－1

13C．－

22答案

C 解析

由题意知，(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，

∴－x2＋x＋a2－a<1. 即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，

则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，

13∴4a2－4a－3<0，解得－

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α. 其中正确的命题个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 解析

①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B. 二、填空题

9．有一段演绎推理：

大前提：整数是自然数；

小前提：－3是整数；

结论：－3是自然数．

这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”) 答案

大前提

10．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为∅，则实数a的取值范围为__________．

答案

[0,2]

解析

∵不等式ax2＋2ax＋2<0无解，

则不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集为R. ∴当a＝0时，2≥0，显然成立，

B．0

22

a>0，当a≠0时，

2Δ＝4a－8a≤0，

解得0

f2f4f2 01411．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________. f1f3f2 013答案

2 014 解析

利用三段论．

∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，大前提

fa＋1令b＝1，则＝f(1)＝2，小前提

faf2f4f2 014∴＝＝…＝＝2，结论

f1f3f2 013∴原式＝2＋2＋…＋2个＝2 014. 1 007三、解答题

12．把下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)一切奇数都不能被2整除，(22 015＋1)是奇数，所以(22 015＋1)不能被2整除；

(2)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数；

(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．

解

(1)一切奇数都不能被2整除，大前提

22 015＋1是奇数，小前提

22 015＋1不能被2整除．结论

(2)三角函数都是周期函数，大前提

y＝tan α是三角函数，小前提

y＝tan α是周期函数．结论

(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提

△ABC三边的长依次为3,4,5，且32＋42＝52，小前提

△ABC是直角三角形．结论

13. 如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2.等边三角形ADB以AB为轴旋转．

(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．

解

(1)取AB的中点E，连接CE，DE. 因为AC＝BC＝2，AB＝2，

所以△ABC为等腰直角三角形，

所以CE⊥AB. 因为△ADB是等边三角形，

所以DE⊥AB. 又平面ADB⊥平面ABC，

且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ADB，

所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥CE. 由已知得DE＝3AB＝3，CE＝1. 2所以在Rt△CDE中，CD＝DE2＋CE2＝2. (2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明如下：

当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，

所以C，D都在AB的垂直平分线上，

所以AB⊥CD. 当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，

又DE∩CE＝E，

所以AB⊥平面CDE. 又CD⊂平面CDE，

所以AB⊥CD. 综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD. 四、探究与拓展

14．设是R的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封闭．则下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(

) A．自然数集

C．有理数集

答案

C B．整数集

D．无理数集

解析

A错，因为自然数集对减法、除法不封闭；B错，因为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．

115．已知f(x)＝x，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般3＋3性结论，并给出证明．

1解

∵f(x)＝x，

3＋33－13－3113∴f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝，

2631＋33＋3同理可得f(－1)＋f(2)＝f(－2)＋f(3)＝3. 33. 33，

3猜想f(x)＋f(1－x)＝证明：设x1＋x2＝1，

则f(x1)＋f(x2)＝＝

11＋

3x1＋33x2＋33x1＋3x2＋233＝. 33x1＋3x2＋63