小结教案1

章末复习

学习目标

1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题.

1.“三个二次”之间的关系

所谓三个二次，指的是①二次函数图象与x轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点. 解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化. 2.规划问题

(1)规划问题的求解步骤

①把问题要求转化为约束条件；

②根据约束条件作出可行域；

③对目标函数变形并解释其几何意义；

④移动目标函数寻找最优解；

⑤解相关方程组求出最优解. (2)关注非线性

①确定非线性约束条件表示的平面区域.可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域；

y－b②常见的非线性目标函数有(ⅰ)，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线x－a的斜率；(ⅱ)x－a2＋y－b2，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离. 3.基本不等式

利用基本不等式证明不等式和求最值的区别

①利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件. ②利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.

1x－(x－1)>0.(×) 1.当a≠0时，(ax－1)(x－1)>0⇔a2.目标函数z＝x＋ay，当a<0时，当纵截距取最小值时，z才取最大值.(√) 3.用a2＋b2≥2ab求最值时，不用满足条件“a>0，b>0”.(√)

类型一

“三个二次”之间的关系

例1

设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围. 考点

“三个二次”间对应关系的应用

题点

由“三个二次”间对应关系求参数值

解

M⊆[1,4]有两种情况：

其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围. 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，

对方程x2－2ax＋a＋2＝0，

有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，

①当Δ<0时，－1

②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，M＝{－1}⊈[1,4]，不满足题意；

当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]，满足题意. ③当Δ>0时，a<－1或a>2. 设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1

那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]等价于1≤x1

f1≥0且f4≥0，即即10，

a≤18，712，a≤3，

18解得2

718－1，. 综上可知，当M⊆[1,4]时，a的取值范围是7思维升华

(1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化. (2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想. 跟踪训练1

若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________. 考点

“三个二次”间对应关系的应用

题点

由“三个二次”的对应关系求参数值

答案

2

解析

因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，

所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，

m>1，6由1＋m＝a，1·m＝a，

m＝2，可得

a＝2.

类型二

规划问题

x－4y≤－3，例2

已知变量x，y满足约束条件3x＋5y≤25，x≥1，考点

线性目标最优解

题点

求线性目标函数的最值

解

如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域. 设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小. 上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3. 反思与感悟

(1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确. (2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z越大还是越小. 跟踪训练2

某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小. 考点

实际生活中的线性规划问题

题点

线性规划在实际问题中的应用

解

设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，

求z＝2x＋y的最大值和最小值. x＋2y≥4，由题意可得x≥0，y≥0，x，y∈N.2x＋y≥5，

所用原料的总面积为z＝3x＋2y，

作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.

在一组平行直线3x＋2y＝z中，

经过可行域内的点A时，z取得最小值，

直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，

即最优解为(2,1). 所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小. 类型三

利用基本不等式求最值

命题角度1

无附加条件型

50x例3

设f(x)＝2. x＋1(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；

(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值. 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

1解

(1)当x＝0时，f(0)＝0，当x>0时，有x＋≥2，

x50x50∴f(x)＝2＝≤25. 1x＋1x＋x1当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，

x∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25. 1(2)∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，

x50∴f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20. 1x＋x∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20. 反思与感悟

利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形以构造定值.如“相等”的条件不具备，可以考虑用函数的单调性求解. 1跟踪训练3

求函数y＝＋x(x＞3)的最小值. x－3考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

11解

∵y＝＋x＝＋x－3＋3，x＞3，

x－3x－31∴x－3＞0，＞0，

x－3

∴y≥21·x－3＋3＝5. x－31当且仅当＝x－3，

x－3即x＝4时，y有最小值5. 命题角度2

有附加条件的最值问题

例4

函数y＝a1x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，－11则＋的最小值为________. mn考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

4 解析

y＝a1x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，

－∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，

∴m＋n＝1，

方法一

11m＋n11＋＝＝≥＝4，

mnmnmnm＋n221当且仅当m＝n＝时，取等号. 2方法二

1111＋＝(m＋n)m＋n

mnnm·＝4，

mnnm＝2＋＋≥2＋2 mnm＋n＝1，1当且仅当nm即m＝n＝时取等号. 2m＝n，11∴m＋nmin＝4. 反思与感悟

当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值. 12跟踪训练4

设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值. xy考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

12解

∵＋＝3，

xy112＋＝1. ∴3xy

112＋

∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×3xyy4x114＋＋≥4＋2＝xy33448＝＋＝. 333y4x当且仅当＝，即y＝2x时，取等号. xy1224又∵＋＝3，∴x＝，y＝. xy338∴2x＋y的最小值为. 3类型四

含绝对值的不等式的解法

例5

解下列关于x的不等式. (1)|x＋1|＞|x－3|；

(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x. 解

(1)方法一

|x＋1|＞|x－3|，

两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，

∴8x＞8，∴x＞1. ∴原不等式的解集为{x|x＞1}. 方法二

分段讨论：

当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈∅；

当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，

即x＞1，∴此时1＜x≤3；

当x＞3时，有x＋1＞x－3，

∴x＞3. ∴原不等式解集为{x|x＞1}. 5(2)分段讨论：①当x＜－时，原不等式变形为

22－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7，

5x＜－. ∴不等式解集为x2y4x·

xy

5②当－≤x≤2时，

23原不等式变形为2－x－2x－5＞2x，解得x＜－，

553－≤x＜－∴不等式解集为x25. 

③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，

7解得x＜－，

3∴原不等式无解. 3x＜－. 综上可知，原不等式的解集为x5

反思与感悟

含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解.这种方法通常称为零点分段法. 跟踪训练5

已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；

(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值. －2x＋6，x≤2，解

(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝2，2＜x＜4，2x－6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，

得－2x＋6≥4，解得x≤1；

当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；

当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，

得2x－6≥4，解得x≥5. 所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}. (2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，

－2a，x≤0，则h(x)＝4x－2a，0＜x＜a，2a，x≥a.

a－1a＋1由|h(x)|≤2，解得≤x≤. 22又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

1＝1，a－2所以a＋12＝2，

于是a＝3. 类型四

含绝对值的不等式的解法

例5

解下列关于x的不等式. (1)|x＋1|＞|x－3|；

(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x. 解

(1)方法一

|x＋1|＞|x－3|，

两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，

∴8x＞8，∴x＞1. ∴原不等式的解集为{x|x＞1}. 方法二

分段讨论：

当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈∅；

当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，

即x＞1，∴此时1＜x≤3；

当x＞3时，有x＋1＞x－3，

∴x＞3. ∴原不等式解集为{x|x＞1}. 5(2)分段讨论：①当x＜－时，原不等式变形为

22－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7，

5x＜－. ∴不等式解集为x2

5②当－≤x≤2时，

23原不等式变形为2－x－2x－5＞2x，解得x＜－，

553－≤x＜－. ∴不等式解集为x52

③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，

7解得x＜－，

3∴原不等式无解. 3x＜－. 综上可知，原不等式的解集为x5

反思与感悟

含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解.这种方法通常称为零点分段法.

跟踪训练5

已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；

(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值. －2x＋6，x≤2，解

(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝2，2＜x＜4，2x－6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，

得－2x＋6≥4，解得x≤1；

当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；

当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，

得2x－6≥4，解得x≥5. 所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}. (2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，

－2a，x≤0，则h(x)＝4x－2a，0＜x＜a，2a，x≥a.

a－1a＋1由|h(x)|≤2，解得≤x≤. 22又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

1＝1，a－2所以a＋12＝2，

于是a＝3.

x≥0，1.已知实数x，y满足条件y≤1，若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最2x－2y＋1≤0，优解有无穷多个，则实数m的值为(

) 11A.1

B.

C.－

D.－1 22考点

线性规划中的参数问题

题点

无数个最优解问题

答案

A 解析

作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx

－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.

1－2

) 2.若不等式ax2＋bx－2>0的解集为x4

A.－18

B.8

C.－13

D.1 考点

一元二次不等式的应用

题点

已知解集求参数的取值范围

答案

C 1解析

∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根. 4∴－1＝－2，－2×4aA.1

B.2

C.3

D.4 1b－＝－，－2＋4a

a＝－4，∴∴a＋b＝－13. b＝－9，

113.设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(

) abaa－b考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

D 1111解析

a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋

abaa－babaa－b11＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，

abaa－b当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，

即a＝2，b＝2时取等号. 24.若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是__________. 答案

(－2,2] 解析

不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题2Δ＝4a－2＋16a－2<0，意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需

a－2<0，

解得－2

5.不等式4＜|3x－2|＜8的解集为__________________. 1022＜x＜或－2＜x＜－

答案

x33|3x－2|＞4，解析

由4＜|3x－2|＜8，得⇒

|3x－2|＜8

3x－2＜－4或3x－2＞4，⇒－8＜3x－2＜8

10－2＜x＜.32x＜－或x＞2，3

210∴－2＜x＜－或2＜x＜. 331022＜x＜或－2＜x＜－∴原不等式的解集为x33. 

1.不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集. 3.二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5.运用基本不等式求最值时把握三个条件

①“一正”——各项为正数；

②“二定”——“和”或“积”为定值；

③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. 6.绝对值不等式重点题型

利用不等式的基本性质、平均不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式.

一、选择题

1.若a<0，－1

) A.a>ab>ab2

C.ab>a>ab2

考点

实数大小的比较

题点

利用不等式的性质比较大小

答案

D 解析

∵a<0，－1

∴ab>0，ab2<0，

∴ab>a，ab>ab2. ∵0<1＋b<1,1－b>1>0，

∴a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，

∴a

∴a

) A.a<0或a>2

C.a＝0或a＝2

B.0ab>a

D.ab>ab2>a

考点

二元一次不等式(组)表示的平面区域

题点

二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定

答案

B 解析

原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x＋y－a中，结果异号，即－a(1＋1－a)<0，故0

) x＋3A.{x|x<－8或x>－3}

C.{x|－3≤x≤2}

考点

分式不等式的解法

题点

分式不等式的解法

答案

B x－2－x－8解析

原不等式可化为－2≤0，即≤0，即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得x≤－x＋3x＋38或x>－3. B.{x|x≤－8或x>－3} D.{x|－3

x－y＋1≤0，y4.若实数x，y满足则的取值范围是(

) x－1x>0，

A.(－1,1)

C.(－∞，－1)

考点

非线性目标函数的最值问题

题点

求斜率型目标函数的最值

答案

B 解析

可行域如图阴影部分，yy>1或<－1. x－1x－1B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.[1，＋∞) y的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得x－1

5.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(

) A.a2>a>－a2>－a

C.－a>a2>a>－a2

考点

实数大小的比较

题点

利用不等式的性质比较大小

答案

B 解析

∵a2＋a<0，

∴a(a＋1)<0，∴－1a2>－a2>a. 23x－y－2≤0，x－y≥0，6.设x，y满足约束条件x≥0，y≥0，则ab的取值范围是(

) A.(0,4)

C.[4，＋∞)

考点

线性规划中的参数问题

题点

线性规划中的参数问题

答案

B B.(0,4] D.(4，＋∞) B.－a>a2>－a2>a

D.a2>－a>a>－a2

若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，

解析

作出不等式组表示的区域(如图中阴影部分所示)，由图可知，当目标函数的图象z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时，z取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤时取等号)，又∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B. a＋b22＝4(当且仅当a＝b＝2

x＋y－7≤0，7.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x－y＋3≥0，y≥0.轴相切，则a2＋b2的最大值为(

) A.5

C.37

考点

非线性目标函数的最值问题

题点

求非线性目标函数最值问题综合

答案

C 解析

由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，|a|max＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C. B.29 D.49

若圆心C∈Ω，且圆C与x

二、填空题

8.不等式|x－x2－2|＞x2－3x－4的解集为________. 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

{x|x＞－3} 解析

∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，

17x－2＋＞0，

而x2－x＋2＝24∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2，

故原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4.

∴x＞－3.∴原不等式的解集为{x|x＞－3}. 9.若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________. 考点

“三个二次”间对应关系的应用

题点

由“三个二次”的对应关系求参数范围

答案

[25，＋∞) 解析

令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7. ∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，

m－1∴由二次函数图象得＞1，16f1＞0m≥25或m≤9，解得m＞17，m∈R，Δ＝m－12－32m－7≥0，

∴m的取值范围是[25，＋∞). 10.函数y＝x＋2的最大值是________. 2x＋5考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

2

4解析

设t＝x＋2，从而x＝t2－2(t≥0)，

t则y＝2. 2t＋1当t＝0时，y＝0；

112当t>0时，y＝≤＝，

1142t＋2 2t·tt12当且仅当2t＝，即t＝时等号成立，

t232即当x＝－时，ymax＝. 24a2b211.已知a>0，b>0且a≠b，则＋与a＋b的大小关系是________________. ba考点

实数大小的比较

题点

作差法比较大小

a2b2答案

＋>a＋b

baabab＋－(a＋b)＝－b＋－a

解析

∵babaa2－b2b2－a211＝＋＝(a2－b2)b－a

baa－ba－b2a＋b＝(a－b)＝，

abab222222又∵a>0，b>0，a≠b，

∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，

abab＋－(a＋b)>0，∴＋>a＋b. ∴baba三、解答题

1912.正数x，y满足＋＝1. xy(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值. 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

19解

(1)由1＝＋≥2xy最小值为36. 192y9x＋＝19＋＋≥19＋2(2)由题意，可得x＋2y＝(x＋2y)xyxy9x＝，

y即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋62. 13.已知不等式mx2－mx－1<0. (1)若当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 考点

一元二次不等式恒成立问题

题点

一元二次不等式在区间上恒成立

解

(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；

m<0，②若m≠0，则不等式mx－mx－1<0恒成立等价于解得－4

综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]. (2)令f(x)＝mx2－mx－1，

①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；

f1<0，②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，

f3<0f1＝－1<0，1由解得m<，

6f3＝9m－3m－1<0，

1所以0

含绝对值的不等式的解法

例5

解下列关于x的不等式. (1)|x＋1|＞|x－3|；

(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x. 解

(1)方法一

|x＋1|＞|x－3|，

两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，

∴8x＞8，∴x＞1. ∴原不等式的解集为{x|x＞1}. 方法二

分段讨论：

当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈∅；

当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，

即x＞1，∴此时1＜x≤3；

当x＞3时，有x＋1＞x－3，

∴x＞3. ∴原不等式解集为{x|x＞1}. 5(2)分段讨论：①当x＜－时，原不等式变形为

22－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7，

5x＜－. ∴不等式解集为x2

5②当－≤x≤2时，

23原不等式变形为2－x－2x－5＞2x，解得x＜－，

5

53－≤x＜－. ∴不等式解集为x52

③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，

7解得x＜－，

3∴原不等式无解. 3x＜－综上可知，原不等式的解集为x5. 

反思与感悟

含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解.这种方法通常称为零点分段法.

跟踪训练5

已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；

(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值. －2x＋6，x≤2，解

(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝2，2＜x＜4，2x－6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，

得－2x＋6≥4，解得x≤1；

当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；

当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，

得2x－6≥4，解得x≥5. 所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}. (2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，

－2a，x≤0，则h(x)＝4x－2a，0＜x＜a，2a，x≥a.

a－1a＋1由|h(x)|≤2，解得≤x≤. 22又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

1＝1，a－2所以a＋12＝2，

于是a＝3.

x≥0，1.已知实数x，y满足条件y≤1，若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最2x－2y＋1≤0，优解有无穷多个，则实数m的值为(

) 11A.1

B.

C.－

D.－1 22考点

线性规划中的参数问题

题点

无数个最优解问题

答案

A 解析

作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx

－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.

1－2

) 2.若不等式ax2＋bx－2>0的解集为x4

A.－18

B.8

C.－13

D.1 考点

一元二次不等式的应用

题点

已知解集求参数的取值范围

答案

C 1解析

∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根. 4∴－1＝－2，－2×4aA.1

B.2

C.3

D.4 1b－＝－，－2＋4a

a＝－4，∴∴a＋b＝－13. b＝－9，

113.设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(

) abaa－b考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

D 1111解析

a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋

abaa－babaa－b11＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，

abaa－b当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，

即a＝2，b＝2时取等号. 24.若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是__________. 答案

(－2,2] 解析

不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题2Δ＝4a－2＋16a－2<0，意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需

a－2<0，

解得－2

5.不等式4＜|3x－2|＜8的解集为__________________. 1022＜x＜或－2＜x＜－

答案

x33|3x－2|＞4，解析

由4＜|3x－2|＜8，得⇒

|3x－2|＜8

3x－2＜－4或3x－2＞4，⇒－8＜3x－2＜8

10－2＜x＜.32x＜－或x＞2，3

210∴－2＜x＜－或2＜x＜. 331022＜x＜或－2＜x＜－∴原不等式的解集为x33. 

1.不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集. 3.二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5.运用基本不等式求最值时把握三个条件

①“一正”——各项为正数；

②“二定”——“和”或“积”为定值；

③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. 6.绝对值不等式重点题型

利用不等式的基本性质、平均不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式.

一、选择题

1.若a<0，－1

) A.a>ab>ab2

C.ab>a>ab2

考点

实数大小的比较

题点

利用不等式的性质比较大小

答案

D 解析

∵a<0，－1

∴ab>0，ab2<0，

∴ab>a，ab>ab2. ∵0<1＋b<1,1－b>1>0，

∴a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，

∴a

∴a

) A.a<0或a>2

C.a＝0或a＝2

B.0ab>a

D.ab>ab2>a

考点

二元一次不等式(组)表示的平面区域

题点

二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定

答案

B 解析

原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x＋y－a中，结果异号，即－a(1＋1－a)<0，故0

) x＋3A.{x|x<－8或x>－3}

C.{x|－3≤x≤2}

考点

分式不等式的解法

题点

分式不等式的解法

答案

B x－2－x－8解析

原不等式可化为－2≤0，即≤0，即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得x≤－x＋3x＋38或x>－3. B.{x|x≤－8或x>－3} D.{x|－3

x－y＋1≤0，y4.若实数x，y满足则的取值范围是(

) x－1x>0，

A.(－1,1)

C.(－∞，－1)

考点

非线性目标函数的最值问题

题点

求斜率型目标函数的最值

答案

B 解析

可行域如图阴影部分，yy>1或<－1. x－1x－1B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.[1，＋∞) y的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得x－1

5.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(

) A.a2>a>－a2>－a

C.－a>a2>a>－a2

考点

实数大小的比较

题点

利用不等式的性质比较大小

答案

B 解析

∵a2＋a<0，

∴a(a＋1)<0，∴－1a2>－a2>a. 23x－y－2≤0，x－y≥0，6.设x，y满足约束条件x≥0，y≥0，则ab的取值范围是(

) A.(0,4)

C.[4，＋∞)

考点

线性规划中的参数问题

题点

线性规划中的参数问题

答案

B B.(0,4] D.(4，＋∞) B.－a>a2>－a2>a

D.a2>－a>a>－a2

若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，

解析

作出不等式组表示的区域(如图中阴影部分所示)，由图可知，当目标函数的图象z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时，z取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤时取等号)，又∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B. a＋b22＝4(当且仅当a＝b＝2

x＋y－7≤0，7.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x－y＋3≥0，y≥0.轴相切，则a2＋b2的最大值为(

) A.5

C.37

考点

非线性目标函数的最值问题

题点

求非线性目标函数最值问题综合

答案

C 解析

由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，|a|max＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C. B.29 D.49

若圆心C∈Ω，且圆C与x

二、填空题

8.不等式|x－x2－2|＞x2－3x－4的解集为________. 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

{x|x＞－3} 解析

∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，

17x－2＋＞0，

而x2－x＋2＝24∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2，

故原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4.

∴x＞－3.∴原不等式的解集为{x|x＞－3}. 9.若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________. 考点

“三个二次”间对应关系的应用

题点

由“三个二次”的对应关系求参数范围

答案

[25，＋∞) 解析

令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7. ∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，

m－1∴由二次函数图象得＞1，16f1＞0m≥25或m≤9，解得m＞17，m∈R，Δ＝m－12－32m－7≥0，

∴m的取值范围是[25，＋∞). 10.函数y＝x＋2的最大值是________. 2x＋5考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

2

4解析

设t＝x＋2，从而x＝t2－2(t≥0)，

t则y＝2. 2t＋1当t＝0时，y＝0；

112当t>0时，y＝≤＝，

1142t＋2 2t·tt12当且仅当2t＝，即t＝时等号成立，

t232即当x＝－时，ymax＝. 24a2b211.已知a>0，b>0且a≠b，则＋与a＋b的大小关系是________________. ba考点

实数大小的比较

题点

作差法比较大小

a2b2答案

＋>a＋b

baabab＋－(a＋b)＝－b＋－a

解析

∵babaa2－b2b2－a211＝＋＝(a2－b2)b－a

baa－ba－b2a＋b＝(a－b)＝，

abab222222又∵a>0，b>0，a≠b，

∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，

abab＋－(a＋b)>0，∴＋>a＋b. ∴baba三、解答题

1912.正数x，y满足＋＝1. xy(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值. 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

19解

(1)由1＝＋≥2xy最小值为36. 192y9x＋＝19＋＋≥19＋2(2)由题意，可得x＋2y＝(x＋2y)xyxy9x＝，

y即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋62. 13.已知不等式mx2－mx－1<0. (1)若当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 考点

一元二次不等式恒成立问题

题点

一元二次不等式在区间上恒成立

解

(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；

m<0，②若m≠0，则不等式mx－mx－1<0恒成立等价于解得－4

综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]. (2)令f(x)＝mx2－mx－1，

①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；

f1<0，②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，

f3<0f1＝－1<0，1由解得m<，

6f3＝9m－3m－1<0，

1所以0

x≥0，1.已知实数x，y满足条件y≤1，若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最2x－2y＋1≤0，优解有无穷多个，则实数m的值为(

) 11A.1

B.

C.－

D.－1 22考点

线性规划中的参数问题

题点

无数个最优解问题

答案

A 解析

作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.

1－2

) 2.若不等式ax2＋bx－2>0的解集为x4

A.－18

B.8

C.－13

D.1 考点

一元二次不等式的应用

题点

已知解集求参数的取值范围

答案

C 1解析

∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根. 4－＝－，－2＋4a∴－1＝－2，－2×4a1b

a＝－4，∴∴a＋b＝－13. b＝－9，

113.设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(

) abaa－bA.1

B.2

C.3

D.4 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

D 1111解析

a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋

abaa－babaa－b11＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，

abaa－b当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，

即a＝2，b＝2时取等号. 24.若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是__________. 答案

(－2,2] 解析

不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题2Δ＝4a－2＋16a－2<0，意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需

a－2<0，

解得－2

答案

x33|3x－2|＞4，解析

由4＜|3x－2|＜8，得⇒

|3x－2|＜8

3x－2＜－4或3x－2＞4，⇒－8＜3x－2＜8

10－2＜x＜.32x＜－或x＞2，3

210∴－2＜x＜－或2＜x＜. 33

1022＜x＜或－2＜x＜－. ∴原不等式的解集为x33

1.不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集. 3.二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5.运用基本不等式求最值时把握三个条件

①“一正”——各项为正数；

②“二定”——“和”或“积”为定值；

③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. 6.绝对值不等式重点题型

利用不等式的基本性质、平均不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式.

一、选择题

1.若a<0，－1

) A.a>ab>ab2

C.ab>a>ab2

考点

实数大小的比较

题点

利用不等式的性质比较大小

答案

D B.ab2>ab>a

D.ab>ab2>a

解析

∵a<0，－1

∴ab>0，ab2<0，

∴ab>a，ab>ab2. ∵0<1＋b<1,1－b>1>0，

∴a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，

∴a

∴a

) A.a<0或a>2

C.a＝0或a＝2

B.0

二元一次不等式(组)表示的平面区域

题点

二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定

答案

B 解析

原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x＋y－a中，结果异号，即－a(1＋1－a)<0，故0

) x＋3A.{x|x<－8或x>－3}

C.{x|－3≤x≤2}

考点

分式不等式的解法

题点

分式不等式的解法

答案

B x－2－x－8解析

原不等式可化为－2≤0，即≤0，即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得x≤－x＋3x＋38或x>－3. x－y＋1≤0，y4.若实数x，y满足则的取值范围是(

) x－1x>0，B.{x|x≤－8或x>－3} D.{x|－3

A.(－1,1)

C.(－∞，－1)

考点

非线性目标函数的最值问题

题点

求斜率型目标函数的最值

答案

B 解析

可行域如图阴影部分，B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.[1，＋∞) y的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得x－1

yy>1或<－1. x－1x－1

5.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(

) A.a2>a>－a2>－a

C.－a>a2>a>－a2

考点

实数大小的比较

题点

利用不等式的性质比较大小

答案

B 解析

∵a2＋a<0，

∴a(a＋1)<0，∴－1a2>－a2>a. 23x－y－2≤0，x－y≥0，6.设x，y满足约束条件x≥0，y≥0，则ab的取值范围是(

) A.(0,4)

C.[4，＋∞)

考点

线性规划中的参数问题

题点

线性规划中的参数问题

答案

B 解析

作出不等式组表示的区域(如图中阴影部分所示)，由图可知，当目标函数的图象z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时，z取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤时取等号)，又∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B. a＋b22＝4(当且仅当a＝b＝2B.(0,4] D.(4，＋∞) B.－a>a2>－a2>a

D.a2>－a>a>－a2

若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，

x＋y－7≤0，7.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x－y＋3≥0，y≥0.轴相切，则a2＋b2的最大值为(

) A.5

C.37

考点

非线性目标函数的最值问题

题点

求非线性目标函数最值问题综合

答案

C B.29 D.49

若圆心C∈Ω，且圆C与x解析

由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，|a|max＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.

二、填空题

8.不等式|x－x2－2|＞x2－3x－4的解集为________. 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

{x|x＞－3} 解析

∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，

17x－2＋＞0，

而x2－x＋2＝24∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2，

故原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4. ∴x＞－3.∴原不等式的解集为{x|x＞－3}. 9.若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________. 考点

“三个二次”间对应关系的应用

题点

由“三个二次”的对应关系求参数范围

答案

[25，＋∞) 解析

令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7. ∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，

m－1∴由二次函数图象得＞1，16f1＞0m≥25或m≤9，解得m＞17，m∈R，Δ＝m－12－32m－7≥0，

∴m的取值范围是[25，＋∞). 10.函数y＝x＋2的最大值是________. 2x＋5考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

2

4解析

设t＝x＋2，从而x＝t2－2(t≥0)，

t则y＝2. 2t＋1当t＝0时，y＝0；

112当t>0时，y＝≤＝，

1142t＋2 2t·tt12当且仅当2t＝，即t＝时等号成立，

t232即当x＝－时，ymax＝. 24a2b211.已知a>0，b>0且a≠b，则＋与a＋b的大小关系是________________. ba考点

实数大小的比较

题点

作差法比较大小

a2b2答案

＋>a＋b

ba22aba2b2解析

∵b＋a－(a＋b)＝－b＋－a

baa2－b2b2－a211＝＋＝(a2－b2)b－a

baa－ba－b2a＋b＝(a－b)＝，

abab22又∵a>0，b>0，a≠b，

∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，

abab＋－(a＋b)>0，∴＋>a＋b. ∴baba三、解答题

1912.正数x，y满足＋＝1. xy(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值. 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

19解

(1)由1＝＋≥2xy最小值为36. 192y9x＋＝19＋＋≥19＋2(2)由题意，可得x＋2y＝(x＋2y)xyxy9x＝，

y即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋62. 13.已知不等式mx2－mx－1<0. (1)若当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 考点

一元二次不等式恒成立问题

题点

一元二次不等式在区间上恒成立

解

(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；

m<0，②若m≠0，则不等式mx－mx－1<0恒成立等价于解得－4

综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]. (2)令f(x)＝mx2－mx－1，

①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；

f1<0，②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，

f3<0f1＝－1<0，1由解得m<，

6f3＝9m－3m－1<0，

1所以0

合函数图象知只需f(1)<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意. 1－∞，. 综上所述，实数m的取值范围是6

x≥0，1.已知实数x，y满足条件y≤1，若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最2x－2y＋1≤0，优解有无穷多个，则实数m的值为(

) 11A.1

B.

C.－

D.－1 22考点

线性规划中的参数问题

题点

无数个最优解问题

答案

A 解析

作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A. 1－2

) 2.若不等式ax2＋bx－2>0的解集为x4

A.－18

B.8

C.－13

D.1 考点

一元二次不等式的应用

题点

已知解集求参数的取值范围

答案

C 1解析

∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根. 4－＝－，－2＋4a∴－1＝－2，－2×4a1b

a＝－4，∴∴a＋b＝－13. b＝－9，

113.设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(

) abaa－bA.1

B.2

C.3

D.4 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

D

1111解析

a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋

abaa－babaa－b11＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，

abaa－b当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，

即a＝2，b＝2时取等号. 24.若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是__________. 答案

(－2,2] 解析

不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题2Δ＝4a－2＋16a－2<0，意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需

a－2<0，

解得－2

1.不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集. 3.二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5.运用基本不等式求最值时把握三个条件

①“一正”——各项为正数；

②“二定”——“和”或“积”为定值；

③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.

一、选择题

1.若a<0，－1

) A.a>ab>ab2

C.ab>a>ab2

考点

实数大小的比较

题点

利用不等式的性质比较大小

答案

D 解析

∵a<0，－1

∴ab>0，ab2<0，

∴ab>a，ab>ab2. ∵0<1＋b<1,1－b>1>0，

∴a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，

∴a

∴a

) A.a<0或a>2

C.a＝0或a＝2

B.0ab>a

D.ab>ab2>a

考点

二元一次不等式(组)表示的平面区域

题点

二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定

答案

B 解析

原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x＋y－a中，结果异号，即－a(1＋1－a)<0，故0

) x＋3A.{x|x<－8或x>－3}

C.{x|－3≤x≤2}

考点

分式不等式的解法

题点

分式不等式的解法

答案

B x－2－x－8解析

原不等式可化为－2≤0，即≤0，即(x＋3)(x＋8)≥0且x≠－3，解得x≤－8x＋3x＋3或x>－3. x－y＋1≤0，y4.若实数x，y满足则的取值范围是(

) x－1x>0，B.{x|x≤－8或x>－3} D.{x|－3

A.(－1,1)

B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C.(－∞，－1)

考点

非线性目标函数的最值问题

题点

求斜率型目标函数的最值

答案

B 解析

可行域如图阴影部分，D.[1，＋∞) y的几何意义是区域内的点与点(1,0)x－1yy连线的斜率，易求得>1或<－1. x－1x－15.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(

) A.a2>a>－a2>－a

C.－a>a2>a>－a2

考点

实数大小的比较

题点

利用不等式的性质比较大小

答案

B 解析

∵a2＋a<0，

∴a(a＋1)<0，∴－1a2>－a2>a. 23x－y－2≤0，x－y≥0，6.设x，y满足约束条件x≥0，y≥0，则ab的取值范围是(

) A.(0,4)

C.[4，＋∞)

考点

线性规划中的参数问题

题点

线性规划中的参数问题

答案

B 解析

作出不等式组表示的区域(如图中阴影部分所示)，由图可知，当目标函数的图象z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时，z取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤a＋b22＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，又B.(0,4] D.(4，＋∞) B.－a>a2>－a2>a

D.a2>－a>a>－a2

若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B. x＋y－7≤0，7.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x－y＋3≥0，y≥0.

若圆心C∈Ω，且圆C与x

轴相切，则a2＋b2的最大值为(

) A.5

C.37

考点

非线性目标函数的最值问题

题点

求非线性目标函数最值问题综合

答案

C 解析

由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，|a|max＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C. B.29 D.49

二、填空题

xy8.已知x，y∈(0，＋∞)，且满足＋＝1，则xy的最大值为________. 34考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

3 xy解析

因为x>0，y>0，＋＝1，

34xy所以＋≥234即xy·＝34xyxy13(当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号)，

33422xy≤1，解得xy≤3，

3所以xy的最大值为3.

9.若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________. 考点

“三个二次”间对应关系的应用

题点

由“三个二次”的对应关系求参数范围

答案

[25，＋∞) 解析

令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7. ∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，

m－1∴由二次函数图象得＞1，16f1＞0m≥25或m≤9，解得m＞17，m∈R，Δ＝m－12－32m－7≥0，

∴m的取值范围是[25，＋∞). 10.函数y＝x＋2的最大值是________. 2x＋5考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

答案

2

4解析

设t＝x＋2，从而x＝t2－2(t≥0)，

t则y＝2. 2t＋1当t＝0时，y＝0；

112当t>0时，y＝≤＝，

1142t＋2 2t·tt12当且仅当2t＝，即t＝时等号成立，

t232即当x＝－时，ymax＝. 24a2b211.已知a>0，b>0且a≠b，则＋与a＋b的大小关系是________________. ba考点

实数大小的比较

题点

作差法比较大小

a2b2答案

＋>a＋b

ba

abab＋－(a＋b)＝－b＋－a

解析

∵babaa2－b2b2－a211＝＋＝(a2－b2)b－a

baa－ba－b2a＋b＝(a－b)＝，

abab222222又∵a>0，b>0，a≠b，

∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，

abab＋－(a＋b)>0，∴＋>a＋b. ∴baba三、解答题

1912.正数x，y满足＋＝1. xy(1)求xy的最小值；

(2)求x＋2y的最小值. 考点

基本不等式求最值

题点

利用基本不等式求最值

19解

(1)由1＝＋≥2xy最小值为36. 192y9x＋＝19＋＋≥19＋2(2)由题意，可得x＋2y＝(x＋2y)xyxy9x＝，

y即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋62. 13.已知不等式mx2－mx－1<0. (1)若当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 考点

一元二次不等式恒成立问题

题点

一元二次不等式在区间上恒成立

解

(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；

m<0，②若m≠0，则不等式mx－mx－1<0恒成立等价于解得－4

综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]. (2)令f(x)＝mx2－mx－1，

①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；

f1<0，②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，

f3<0f1＝－1<0，1由解得m<，

6f3＝9m－3m－1<0，

1所以0

x＋y－2≤0，14.x，y满足约束条件2y－x＋2≥0，2x－y＋2≥0，的值为(

) 1A.或－1

2C.2或1

考点

线性规划中的参数问题

题点

无数个最优解问题

答案

B 解析

作出可行域如图中阴影部分(包含边界)所示. 由z＝y－2ax，得y＝2ax＋z. 当2a＝2或2a＝－1，

1即a＝1或a＝－时，

2z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，故选B. b15.已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，b≥a＋c，求的最大值. a考点

非线性目标函数的最值问题

题点

求斜率型目标函数的最值

1B.1或－

2D.2或－1

若z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数aab解

题设条件可转化为c＋c≤4，bac－c≥1，3ab＋≥5，cc

记x＝ac，y＝bc，则3x＋y≥5，x＋y≤4，

y－x≥1，

表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部. 且目标函数为z＝yx，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率. 由方程组3x＋y＝5，x＋y＝4，

得交点坐标为C172，2，

此时z＝7，即bmaxa的最大值为7.