位似图形概念优质课一等奖

27.3

位

似

第课时

1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质.

2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.

1.学生经历对位似图形的观察、画图、分析、交流,体验探索得出结论,培养学生分析问题、解决问题的能力.

2.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.

1.使学生亲身经历位似图形的概念的形成过程和位似图形、位似变换的性质的探索,感受数学学习的应用性和挑战性.

2.经历将一个图形放大或者缩小的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.

3.通过探究等数学活动,让学生感受成功的快乐,体验独自克服困难、解决数学问题的过程,有克服困难的勇气,具备学好数学的信心.

【重点】

位似图形的有关概念、性质及作位似图形.

【难点】

利用位似图形将一个图形放大或缩小.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习课本P47~48.

导入一:

【欣赏图片】

【师生活动】

教师用多媒体出示图片,引出课题,学生观察思考各图片中的两个图形有什么共同特征.

导入二:

导入三:

【复习提问】

(1)什么是相似图形?

(2)相似图形的性质是什么?

【师生活动】

学生思考回答,教师点评.

图中有相似多边形吗?如果有,这种相似有什么特征?

【师生活动】

学生观察、思考,小组合作交流,共同归纳总结图形特征,教师用多媒体出示图片,适当点拨,让学生大胆猜想、归纳.

[设计意图]

先由生活图片导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣,教师很自然地导出课题,然后复习相似三角形的概念和性质,为本节课的学习做好铺垫,最后再观察思考、交流课本中的几何图形,通过归纳相似的特征,很流畅地归纳出位似概念.

[过渡语]

我们可以得到以上多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样特殊的相似图形就是我们今天要探究的内容.

一、位似图形的概念

【课件展示】

如果两个相似多边形的对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心.这时我们说这两个图形关于这点位似.

【思考】

(1)位似图形一定是相似图形吗?反之成立吗?

(位似图形一定是相似图形,相似图形不一定是位似图形,位似图形是特殊的相似图形)

(2)如何判断两个图形是位似图形?

(首先判断两个图形是相似图形,其次判定每一对对应点所在的直线都经过同一点)

(3)判断下列图形是不是位似图形?

【师生活动】

学生独立思考回答,教师适当点评.

二、位似图形的性质

思路一

如图所示的两组多边形是位似图形,观察思考.

(1)在各图中,位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系?

(2)在各图中,对应点到位似中心的距离与两个图形的相似比有什么关系?

(3)在各图中,两个图形中的对应线段有什么位置关系?

【师生活动】

学生独立思考后,小组交流讨论,小组代表展示本小组成果,教师巡视时个别辅导学生,对学生的展示给予鼓励和表扬,师生共同归纳位似图形的性质.

【课件展示】

(1)位似图形可能在位似中心的同侧,也可能在位似中心的异侧.

(2)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.

(3)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.

思路二

教师引导,共同分析归纳.

如图所示(同思路一图),两组多边形都是位似图形,思考回答.

(1)图(1)中的两个位似图形在位似中心的

,图(2)中的两个位似图形在位似中心的

,故位似图形和位似中心的位置关系是

.

(2)各图中两个图形的对应边的位置关系是

.(教师举例说明位似的对应边可能在同一条直线上)

(3)各图中 ,

,之间的数量关系是

;它们与两个图形的相似比之间的数量关系是

;故用语言叙述为

.

【师生活动】

学生在教师的问题下思考、回答,教师点拨,共同归纳总结.

【课件展示】

(1)位似图形可能在位似中心的同侧,也可能在位似中心的异侧.

(2)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.

(3)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.

[设计意图]

通过师生合作,经历探索位似图形的性质的过程,理解并掌握位似图形的性质,为后面学习画图做好铺垫,同时提高学生分析问题的能力和归纳总结的能力.

三、

将图形放大或缩小

[过渡语]

根据位似图形的性质,我们可以将一个图形放大或缩小,让我们一起尝试画出下面的图形吧!

(教材47页)如图所示,将四边形ABCD缩小为原来的

.

思路一

【教师温馨提示】

将四边形缩小为原来的,可以画出与该四边形相似比为1∶2的位似图形,利用位似图形的性质可以将图形放大或缩小.

【师生活动】

学生独立思考,尝试画图后,小组合作交流,小组代表展示自己的画法,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,并对学生的展示给出点评.

【教师继续提示】

位似图形一定在位似中心的同侧吗?尝试画出位似图形在位似中心异侧的图形.

【课件展示】

作法:如图所示.

(1)在四边形ABCD外任取一点O;

(2)过O点分别作射线OA,OB,OC,OD;

(3)分别在射线OA,OB,OC,OD上取点A',B',C',D',使得

(4)顺次连接A',B',C',D'.

所得的四边形A'B'C'D'就是所求作的四边形.

====;

类似的方法可以画出在位似中心异侧的位似图形,如图所示.

当位似中心选取在四边形内部时,画出的图形如图所示.

归纳作位似图形的一般步骤:

(1)确定位似中心,画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部,还可能在图形的边上.

(2)找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点.

(3)根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点,顺次连接所得的关键点,得到新的图形.

(4)写出作图的结论.

思路二

教师引导思考:

(1)利用位似图形可以将一个图形放大或缩小吗?放大或缩小的比例与两个图形的相似比有什么关系?

(利用位似图形可以将图形放大或缩小,放大或缩小的比例与相似比相等)

(2)根据位似图形的性质,对应点到位似中心的距离比有什么数量关系?

(位似图形对应点到位似中心的距离比等于相似比)

(3)如何选取位似中心的位置?与四边形有什么位置关系?

(平面上任意一点,可能在图形内部,也可能在图形外部,还可能在图形的边上)

(4)如何选取缩小后图形的各个顶点?

(连接位似中心和各个顶点,根据对应点到位似中心的距离比等于相似比得到各顶点)

(5)顺次连接各顶点可得所求作的四边形.

【师生活动】

学生在教师的引导下思考,然后独立完成画图,教师及时发现学生画图中出现的错误,并及时纠正,强调易错点.

【课件展示】

归纳画位似图形的方法:

(1)确定位似中心;

(2)对应点与位似中心的距离比相等,且等于相似比.

[设计意图]

教师提出问题,引导画图方法,让学生独立完成画图,或学生通过合作交流,共同探究、归纳画图方法,培养学生的作图能力与语言表达能力,体验成功的快乐,增强学习数学的信心.

[知识拓展]

(1)位似是一种具有特殊位置关系的相似.两个图形是位似图形,必定是相似图形,而两个图形是相似图形,不一定是位似图形.

(2)位似中心可以在两个图形内部,两个图形之间,两个图形的同一侧,也可以在一个图形的一条边上或某一顶点上.

(3)利用位似,可以将一个图形放大或缩小.

(4)平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形位似.

(5)作位似图形时,要弄清相似比.

(6)一般情况下,作已知图形的位似图形的结果不唯一.

1.位似图形的概念.

2.位似图形与相似图形的关系:位似图形一定是相似图形,相似图形不一定是位似图形.

3.位似图形的性质:位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比;位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.

4.画位似图形:

确定位似中心;对应点与位似中心的距离比相等.

1.下列说法:①相似图形一定是位似图形;②位似图形一定是相似图形;③两个位似图形若全等,则位似中心在两个图形之间;④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似,则其中△ABC与△A'B'C'也是位似的,且相似比相等.其中正确的有(

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析:利用位似的定义可知,位似图形一定是相似图形,因为它是一种特殊的相似,但是相似图形不一定是位似图形,所以①错误,②正确;两个位似图形若全等,根据对应点一定相交于一点,可得到位似中心在两个图形之间,③正确;④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似,则在五边形中连线组成的△ABC与△A'B'C',画出图形,可得它们也是位似的,④正确.所以②③④正确.故选C.

2.△ABC和△A'B'C'是位似图形,且面积之比为1∶9,则△ABC和△A'B'C'的对应边AB和A'B'的比为

(

)

A.3∶1

B.1∶3

C.1∶9

D.1∶27

解析:由△ABC和△A'B'C'是位似图形,且面积之比为1∶9,得△ABC和△A'B'C'的对应边AB与A'B'的比为1∶3.故选B.

3.△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2,已知△ABC的周长是3,则△A'B'C'的周长是

.

解析:由△ABC与△A'B'C'是位似图形,且相似比是1∶2,得△ABC与△A'B'C'的周长比是1∶2,又△ABC的周长是3,所以△A'B'C'的周长为6.故填6.

4.如图所示,已知△EFH和△MNK是位似图形,那么其位似中心是点

.

解析:因为位似图形的对应点的连线相交于一点,即位似中心,所以位似中心为B点.故填B.

5.如图所示,顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形,已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位长度,在图中选择适当的位似中心,画一个与格点△DEF位似且相似比不等于1的格点三角形.

解:本题答案不唯一.如图所示的△DE'F'就是符合题意的一个三角形.

1.位似图形的概念

2.位似图形的性质

3.将图形放大或缩小

例题

第1课时

一、教材作业

【必做题】

教材第51页习题27.3第1,2题.

【选做题】

教材第51页习题27.3第4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列关于位似图形的表述:

①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;

②位似图形一定有位似中心;

③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一点,那么这两个图形是位似图形;

④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.

其中正确的是

(

)

A.②③

B.①②

C.③④

D.②③④

2.△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2,已知△ABC的面积是3,则△A'B'C'的面积是

(

)

A.3

B.6

C.9

D.12 3.如图所示的图形中是位似图形的有

(

)

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

4.如图所示,正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的,若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是

(

)

A.2DE=3MN

B.3DE=2MN

C.3∠A=2∠F

D.2∠A=3∠F

5.如图所示,△ABC与△DEF是位似图形,相似比为2∶3,已知AB=4,则DE的长等于

.

6.如图所示,△ABC与△A'B'C'是位似图形,点O是位似中心,若OA=2AA',S△ABC=9,则S△A'B'C'=

.

7.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图所示).现测得OA=20 cm,OA'=50 cm,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是

.

8.如图所示,电影胶片上一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映屏幕的规格为2 m×2 m,若放映机的光源S距胶片20 cm,那么光源S距屏幕

m时,放映的图象刚好布满整个屏幕.

【能力提升】

9.如图所示,△OAB和△ODC是位似图形.

(1)AB与CD平行吗?请说明理由;

(2)如果OB=3,OC=4,OD=3.5,试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长.

本节课让学生观察生活的图片及教材中多边形的图片,通过思考图片的共同点,师生共同得出位似图形的概念,激发学生的兴趣和求知欲.探索位似图形的性质的过程中,以教师提出的问题为指导,通过小组合作交流,归纳总结位似图形的性质,提高了学生分析问题、解决问题的能力,为进一步探索将图形放大或缩小提供了理论依据,在整个探究过程中,学生是课堂的主人,学生在课堂上享受到成功的快乐.画位似图形,由教师先提出问题,学生讨论,通过展示不同成果让学生体会思考问题要全面,最后归纳总结画位似图形的方法,培养学生归纳总结能力.

本节课的重点是位似图形的概念、性质及作图方法,在课堂上注重探究知识的形成过程,不是单纯地记忆结论,所以为了让学生交流时有目的,设计的问题较多,不能培养学生的发散思维和创造力,同时在每个探究活动中都设计了小问题,造成探索交流结论的思考时间过长,导致后面的画图处理得有些仓促,部分学生没有真正把握位似中心位置的选取.

本节课以学生欣赏生活图片导入新课,激发学生学习兴趣,学生观察两个图形的共同特征,除了相似以外,对应顶点所在的直线交于一点,自然地引出位似图形的概念,然后让学生经历观察、讨论、归纳等数学活动探索位似图形的性质,培养学生的创新意识及与他人合作的能力,最后让学生经历作图的过程,增强学生的动手操作能力,并让学生体会位似中心的位置选取不同,画出的图形位置不同,培养学生用多种方法解决问题的能力.