正弦、余弦、正切函数的简单应用教学设计一等奖

28．2

解直角三角形及其应用

28．2.1

解直角三角形(第1课时) 教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解什么叫解直角三角形．

2．掌握解直角三角形的根据．

3．能由已知条件解直角三角形．

【过程与方法】

在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想．

【情感态度与价值观】

在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．

二、重难点目标

【教学重点】

解直角三角形的方法．

【教学难点】

会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c. (1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°；

(2)三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2；

abab(3)边与角关系sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝，tan B＝. ccba433．Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，那么BC＝8，tan B＝. 54环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】见教材P73例1. 【例2】见教材P73例2. 活动2

巩固练习(学生独学)

1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(

A

) A．csin A＝a

C．atan A＝b

B．bcos B＝c

D．ctan B＝b

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为43. 3．根据下列条件解直角三角形．

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12. 解：(1)a＝43，∠B＝30°，∠A＝60°. (2)∠B＝30°，b＝43，c＝83. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．

【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．

【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M. 在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，

∴BC＝AC＝122. ∵AB∥CF，

∴∠BCM＝∠CBA＝45°，

∴BM＝BC sin 45°＝122×2＝12，CM＝BM＝12. 2在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，

∴∠EDF＝60°，

BM∴MD＝＝43，

tan 60°∴CD＝CM－MD＝12－43.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！

28．2.2

应用举例

第2课时

利用仰角、俯角解直角三角形

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．

2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．

【过程与方法】

通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力．

【情感态度与价值观】

通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．

二、重难点目标

【教学重点】

利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．

【教学难点】

建立合适的三角形模型，解决实际问题．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为atan α米．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)

【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3. 【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?

【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.

活动2

巩固练习(学生独学)

如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°. ∵在Rt△ACD中，CD＝21 m，

∴AC＝CD21＝＝213(m)．

tan 30°33∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，

∴BC＝CD＝21 m，

∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．

即河的宽度AB约是15.3 m. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)

【互动探索】要求AB，先求出AE与BE→解直角三角形：Rt△ADE、Rt△BCE. 【解答】在Rt△ADE中，∵∠ADE＝65°，DE＝15米，

AE∴tan∠ADE＝，

DEAE即tan 65°＝≈2.1，解得

AE≈31.5米．

15在Rt△BCE中，∵∠BCE＝42°，CE＝CD＋DE＝6＋15＝21(米)，

BE∴tan∠BCE＝，

CE

BE即tan 42°＝≈0.9，解得

BE≈18.9米．

21∴AB＝AE－BE＝31.5－18.9≈13(米)．

即旗杆AB的长大约是13米．

【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt△ADE、Rt△BCE，利用AB＝AE－BE即可求出答案．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时

利用坡度、方向角解直角三角形

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．能运用解直角三角形解决航行问题．

2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．

坡面的铅直高度3．理解坡度i＝＝坡角的正切值．

坡面的水平宽度【过程与方法】

1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．

2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．

【情感态度与价值观】

在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．

二、重难点目标

【教学重点】

用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．

【教学难点】

准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

(一)方向角

1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．

2．如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向．

(二)坡度、坡角

h1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝tan α. l2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为1∶3. (三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程

1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；

2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；

3．得到数学问题的答案；

4．得到实际问题的答案．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) (一)解直角三角形，解决航海问题

【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？

【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD的长并与10海里比较→得出结论．

【解答】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D. BD在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，

AD∴BD＝AD·tan 55°. CD在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，

AD∴CD＝AD·tan 25°. ∵BD＝BC＋CD，

∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，

∴AD＝20≈20.79(海里)．

tan 55°－tan 25°而20.79海里>10海里，

∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．

(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题

【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8 m，路基高BE＝5.8 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．

【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．

【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β. ∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，

∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，

∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．

由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，

得α≈32°，β≈22°. 即铁路路基下底宽AB为33.6 m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．

活动2

巩固练习(学生独学)

1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为65米．

2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500 m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)

解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．

在Rt△ACD中，根据题意，有∠CAD＝30°. CD∵tan∠CAD＝，

AD∴AD＝CD＝3CD. tan 30°在Rt△CBD中，根据题意，有∠CBD＝60°. CD∵tan∠CBD＝，

BD∴BD＝CD3＝CD. tan 60°3又∵AD－BD＝500 m，

∴3CD－3CD＝500，解得CD≈433 m. 3

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶3 ，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．

【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．

【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠CED＝60°. ∵AB的坡比为1∶3，

∴∠ABE＝30°，

∴∠BAE＝90°. ∵AB＝3米，

∴AE＝ABtan∠ABE＝3×∴BE＝2AE＝23米．

∵∠C＝∠CED＝60°，

∴△CDE是等边三角形．

∵AC＝6米，

∴DE＝CE＝AC＋AE＝(6＋3)米，

∴BD＝DE－BE＝6＋3－23＝(6－3)(米)．

即浮漂D与河堤下端B之间的距离为(6－3)米．

3＝3(米)，

3

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题既考查了解直角三角形，也考查了等边三角形的性质，根据已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 坡度的概念→通常写成比的形式坡度与坡角坡角的概念→坡度越大，坡面就越陡方向角：指正北、正南方向线与目标方向线所形

成的角

练习设计

请完成本课时对应练习！