3.2.2 复数代数形式的乘除运算公开课参赛课教案

教学设计

教学设计方案

课题名称

《复数代数形式的乘除运算》

工作姓名

刘建英

单位

学

年级学科

高三数学

版本

A版

一、教学内容分析

在学生学习了复数的初步知识，理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，再结合典型案例，让学生经历设计复数解决问题的全过程，体验复数在解决问题中的重要作用，体会复数的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力．

建议充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则．这有利于学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力．

以问题为载体，让学生经历知识的形成过程和发展过程，从而突出教学重点，通过各种教学媒体(计算机)调动学生参与课堂教学的主动性与积极性，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开．

学生在课堂上要多观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，教师要引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点．

二、教学目标

定州市实验中教材人教1．知识与技能

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．

2．过程与方法

理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．

3．情感、态度与价值观

利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．

2．过程与方法

建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．

三、学习者特征分析

建议充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则．这有利于学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力．

四、教学过程

教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的引导学生分析例题1的运算方由乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．学生分组探究例题2解法，引导学生去发现in运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．让学生自主分析例题3，老师适当点拨

解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．

课标解读

2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点) 3. 理解共轭复数的概念．(易错点)

【问题导思】

1．如何规定两个复数相乘？

【提示】

两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？

【提示】

满足．

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

【问题导思】

如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？

z1a＋bia＋bic－diac＋bd＋bc－adi【提示】

z＝＝＝. c＋dic＋dic－dic2＋d22

(1)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d为实数，c＋di≠0)，z1，z2进行除法复数的除法与共轭复数

z1·z2＝z2·z1

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

复数的乘法

1.

掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)

a＋bi运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式再把分子与分母都乘以c－dic＋diac＋bdbc－ad化简后可得结果：2＋i. c＋d2c2＋d2(2)共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数

复数代数形式的乘除法运算

(1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)·z＝2i，则z＝(

) A．－1＋i

B．－1－i

C．1＋i

D．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝(

) A．－8

(3)计算(1＋i62＋3i)＋＝________. 1－i3－2iB．8

C．－8i D．8i 【思路探究】

(1)先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．

(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．

(3)先计算1＋i2＋3i再乘方，且将的分母实数化后再合并．

1－i3－2i【自主解答】

(1)设z＝a＋bi，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i. a＋b＝0，a＝－1，根据复数相等的充要条件得解得

b－a＝2，b＝1，∴z＝－1＋i.故选A. (2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i2＝－8. 21＋i62＋3i3＋2i＋(3)法一

原式＝

52

＝i6＋6＋2i＋3i－6＝－1＋i. 5

21＋i62＋3ii＋法二

原式＝

23－2ii2＋3ii＝i6＋

2＋3i＝－1＋i. 【答案】

(1)A

(2)A

(3)－1＋i

1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi(a，b∈R)的形式．

2．记住以下结论可以提高运算速度

(1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；

(2)1－i1＋i＝－i，＝i；

1＋i1－i1(3)i＝－i.

计算：

(1)(1－i)2；

1331(2)(－2＋2i)(2＋2i)(1＋i)；

(3)

虚数单位i的幂的周期性及其应用

－23＋i22 013

(1)计算：＋()；

1－i1＋23i1＋i(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．

1－i【思路探究】

将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．

2i. 2＋i

【自主解答】

(1)原式＝i1＋23i221 0062＋[()]·() 1－i1－i1＋23i21＋i21 00621＋i＝i＋()·2＝i＋i1 006·2

－2i22－2＝－2＋2i 2 0141－z(2)1＋z＋z2＋…＋z2 013＝，

1－z1＋i1＋i22i而z＝＝＝2＝i，

1－i1－i1＋i2 01421－i1－i所以1＋z＋z2＋…＋z2 013＝＝＝1＋i. 1－i1－i

1．要熟记i的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与inn联系起来以便计算求值．

2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

预设学生活设计意教师活动

动

将i2＝【问题导思】

1．记错i2值而致误

1＋2i设复数z满足z＝i，则z＝(

)

A．－2＋i

B．－2－i

C．2－i

－1当成i2＝1来运算漏掉负图

在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重号．【错解】

设复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足1＋2iz＝i，

所以1要结论＋2i＝ai＋b. 的灵活解得应用．

a＝2，

b＝1，所以z＝2＋i，故选D项．

【案】

D

六、教学评价设计

在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力．

七、教学板书

创设情景——例题分析——课堂小结——教学反思

八、教学反思

答

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．