3.2.2 复数代数形式的乘除运算优秀教案案例

复数代数形式的乘除运算教案

坡头区第一中学

谭东玲

教学目标：

1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

2.过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重难点

重点：复数代数形式的除法运算。

难点：对复数除法法则的运用。

课型:新知课

教具准备：多媒体

教学过程：

一、复习提问： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是：实部与实部,虚部与虚部分别相

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加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 二、讲解新课：

（一）复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

探究: 复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗? （二）乘法运算律：

(1)z1z2=z2z1. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，2b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1.

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(2)(z1z2)z3=z1(z2z3).

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

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∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 结论：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。

（三）例题讲解

例1. 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.

复数的乘法与多项式的乘法是类似的。

我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算. 例2.计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i).

解：（1）(3+4i) (3-4i) =3-（4i）=9-(-16)=25; (2) （1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i. (四）习题 P60练习 1、2、3

三．共轭复数

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z的共轭复数为z。

思考:若z1, z2是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?

4 22222

(2)z1z2是怎样的一个数? 探究:

类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法法则. 四．除法运算规则

满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者abicdi

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. cxdya,由复数相等定义可知

dxcyb.acbdx,22解这个方程组，得cd

ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=2acbdbcad i. c2d2c2d22②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将原式=abi的分母有理化得：

cdiabi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd

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∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi. c2d2c2d2点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c+d22是正实数.所以可以分母"实数"化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3.计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

(34i)(34i)324225551 先写成分式形式

2 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数) 3 化简成代数形式就得结果

练习:课后习题第4、5题

小结:（1）复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并。

（2）实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立

（3）复数代数形式的除法实质：分母实数化

教学反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.

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复数的除法法则是：abiacbdbcadi(c+di≠0). cdic2d2c2d2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简.

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