3.1.2 复数的几何意义教学评价实录

§12.2

复

数

1．复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．

(5)复数的模

→向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2. 2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi(2)复数z＝a＋bi3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

z1a＋bia＋bic－di④除法：＝＝

z2c＋dic＋dic－diac＋bdbc－ad＝22＋22i(c＋di≠0)．

c＋dc＋d(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

→平面向量OZ(a，b∈R)．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．

(

×

) (

×

) (

×

) (

√

) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (4)原点是实轴与虚轴的交点．

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．

(

√

) (

) 2．(2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

答案

B

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0. 故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．

3．(2013·陕西)设z是复数，则下列命题中的假命题是(

) A．若z2≥0，则z是实数

B．若z2<0，则z是虚数

C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0 答案

C ab＝0，a＝0，解析

设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a－b＋2abi，由z≥0，得22即或a≥b，|a|≥|b|2222

b＝0，.所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的|a|≥|b|

平方不小于0，所以当z2<0时，z一定是虚数，故B为真命题；由于i2＝－1<0，故C为假命题，D为真命题．

4．(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是(

) A．A

C．C

答案

B 解析

表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B. 5．(2013·广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(

) A．2

B．3

C．4

D．5 答案

D

B．B

D．D

3＋4i解析

由题意知x＋yi＝＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4－3i|＝42＋－32＝5. i

题型一

复数的概念

z1z1例1

(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(

) z2z22A．1

B．i

C.

D．0 5(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

思维启迪

(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．

(2)直接根据复数相等的条件求解．

答案

(1)A

(2)A z12＋ai2＋ai1＋2i2－2a4＋az1解析

(1)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其z21－2i555z2虚部为1. 2m＋m＋1＝3(2)由2，解得m＝－2或m＝1，

m＋m－4＝－2

所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．

思维升华

处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．

10

(1)(2013·安徽)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为3－i(

) A．－3

B．－1

C．1

D．3 (2)(2012·江西)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为(

) A．0

B．－1

C．1

D．－2

答案

(1)D

(2)A 1010解析

(1)a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－为纯虚数知a＝3. 3－i3－i(2)利用复数运算法则求解．

∵z＝1＋i，

∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0. 题型二

复数的运算

31＋i2例2

计算：(1)＝________；

i－1

1＋i62＋3i(2)()＋＝________. 1－i3－2i思维启迪

复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算．

答案

(1)3－3i

(2)－1＋i 31＋i23×2i6i解析

(1)＝＝

i－1i－1i－16ii＋1＝－＝－3i(i＋1)＝3－3i. 21＋i262＋3i3＋2i(2)原式＝[]＋

232＋226＋2i＋3i－6＝i6＋＝－1＋i. 5思维升华

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．

(2)记住以下结论，可提高运算速度，

1＋i1－ia＋bi＋＋①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i1－i1＋ii4n3＝－i(n∈N)．

＋3＋i

(1)已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z·z＝________. 1－3i2－23＋i22 014(2)＋()＝________. 1－i1＋23i1答案

(1)

(2)0 4|3＋i|1解析

(1)方法一

|z|＝2＝2，

|1－3i|1z·z＝|z|2＝. 43＋i3i方法二

z＝＝－＋，

44－21＋3i3i3i1＋－－＝4. 4444i1＋23i221 007(2)原式＝＋[()]

1－i1＋23i21 007＝i＋()＝i＋i1 007

－2iz·z＝－＝i＋i4×251＋3＝i＋i3＝0. 题型三

复数的几何意义

例3

如图所示，平行四边形OABC，

顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：

→→(1)AO、BC所表示的复数；

→(2)对角线CA所表示的复数；

(3)求B点对应的复数．

思维启迪

结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．

→→→解

(1)AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i.

→→→∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i. →→→→(2)CA＝OA－OC，∴CA所表示的复数为

(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→→(3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，

→∴OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，

即B点对应的复数为1＋6i. 思维升华

因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．

z

已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内2－i对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

解

设z＝x＋yi(x、y∈R)，

∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2. x－2i1z∵＝＝(x－2i)(2＋i) 2－i2－i511＝(2x＋2)＋(x－4)i，

55由题意得x＝4.∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，

212＋4a－a>0根据条件，可知，

8a－2>0

解得2

∴实数a的取值范围是(2,6)．

解决复数问题的实数化思想

典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. 思维启迪

(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．

规范解答

解

设x＝a＋bi (a，b∈R)，

则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，[3分]

代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，[5分]

24a＝4根据复数相等得，[7分]

22－3a＋b＝－6a＝1a＝1a＝－1a＝－1解得或或或.[9分]

b＝1b＝1b＝－1b＝－1

故所求复数为

x＝1＋ix＝1－ix＝－1＋ix＝－1－i或或或.[12分]

y＝1－iy＝1＋iy＝－1－iy＝－1＋i

温馨提醒

(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．

(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．

(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.

方法与技巧

1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．

3．实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即

一一对应一一对应→复数z＝a＋bi――→复平面内的点Za，b――→平面向量OZ

4．复数运算常用的性质：

1＋i1－i(1)①(1±i)2＝±2i；②＝i，＝－i；

1－i1＋i13(2)设ω＝－＋i，则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③ω＝ω2. 22(3)in＋in1＋in2＋in3＝0(n∈N*)．

＋＋＋失误与防范

1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．

2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程

的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．

3．两个虚数不能比较大小．

4．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．

5．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，22z21＋z2＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z<0在复数范围内有可能成立.

A组

专项基础训练

一、选择题

1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为

A．－1

答案

A x2－1＝0解析

由复数z为纯虚数，得，解得x＝－1，故选A. x－1≠0

(

) B．0

C．1

D．－1或1

→→→2．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是

A．1－2i

C．3＋4i

答案

D →→→解析

因为CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. z3．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是

1＋i(

)

(

) B．－1＋2i D．－3－4i

A．E

答案

D 解析

由题图知复数z＝3＋i，

3＋i3＋i1－i4－2iz∴＝＝＝＝2－i. 21＋i1＋i1＋i1－iz∴表示复数的点为H. 1＋i2－i24．(2013·山东)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|等于

iA．25

C．5

B.41

D.5 B．F

C．G

D．H

(

)

答案

C 3－4i解析

z＝＝－4－3i，所以|z|＝－42＋－32＝5. i2＋i5．复数的共轭复数是

1－2i33A．－i

B.i 55C．－i

答案

C 2＋i2＋i1＋2i2＋i＋4i－2解析

方法一

∵＝＝＝i，

51－2i1－2i1＋2i2＋i∴的共轭复数为－i. 1－2i2＋i－2i2＋ii1－2i方法二

∵＝＝＝i. 1－2i1－2i1－2i2＋i∴的共轭复数为－i. 1－2i二、填空题

6．(2013·天津)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. 答案

5－5i 解析

(3＋i)(1－2i)＝3－5i－2i2＝5－5i. 3＋bi7．(2012·湖北)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________. 1－i答案

3 解析

利用复数相等的条件求出a，b的值．

3＋bi3＋bi1＋i1＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]

221－i3－b3＋b＝＋i. 22b，a＝3－2∴3＋b2＝b，

D．i

(

)

a＝0，解得∴a＋b＝3. b＝3.

8．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．

2答案

m<

3解析

z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)，在第三象限内，

2故3m－2<0且m－1<0，∴m<. 3三、解答题

9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2. 解

(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.

设z2＝a＋2i，a∈R，

则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i. 3210．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实数a的值．

a＋51－a解

z321＋z2＝a＋5＋(a2－10)i＋1－a＋(2a－5)i ＝32a＋5＋1－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ＝a－13a＋5a－1＋(a2＋2a－15)i. ∵z1＋z2是实数，

∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3. B组

专项能力提升

1．(2012·课标全国)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：

p1：|z|＝2;

p2：z2＝2i；

p3：z的共轭复数为1＋i;

p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为

A．p2，p3

B．p1，p2

C．p2，p4

D．p3，p4答案

C 解析

利用复数的有关概念以及复数的运算求解．

∵z＝2－1＋i＝－1－i，

∴|z|＝－12＋－12＝2，

∴p1是假命题；

∵z2＝(－1－i)2＝2i，

∴p2是真命题；

∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；

∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．

其中的真命题共有2个：p2，p4. 2．设f(n)＝1＋i1－in＋1－i1＋in(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为

A．1

B．2

C．3

D．无数个

答案

C 解析

f(n)＝1＋i1－in＋1－i1＋in＝in＋(－i)n，

f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…

(

)

(

)

∴集合中共有3个元素．

3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是

A．|z－z|＝2y

C．|z－z|≥2x

答案

D 解析

∵z＝x－yi(x，y∈R)，|z－z|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正确；

对于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故B不正确；

∵|z－z|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正确；

对于D，|z|＝x2＋y2≤|x|＋|y|，故D正确．

4．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．

答案

1 解析

设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，

得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1. 5．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．

答案

3或6 解析

∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，

∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，

∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，

解得m＝6或m＝3. 6．若1＋2i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________. 答案

－2

3 解析

利用实系数方程的根与系数的关系求解．

∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋2i，

∴其共轭复数1－2i也是方程的根．

由根与系数的关系知，

B．z2＝x2＋y2

D．|z|≤|x|＋|y|

(

) 1＋2i＋1－2i＝－b，

1＋2i1－2i＝c，∴b＝－2，c＝3.