1.3 二项式定理（通用）优秀教案案例

1.3二项式定理

学习目标：

1掌握二项式定理和二项式系数的性质。

2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

0n1n（1）(ab)nCnaCnab1（2）(1x)n1CnxrnrrCnabnnCnb(nN)，

rrCnxxn. rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

4 二项式系数表（杨辉三角）

(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

5．二项式系数的性质：

012nr，Cn，Cn，…，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函(ab)n展开式的二项式系数是Cn数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）

mnm（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn）．

Cn直线rn是图象的对称轴．

2n2n（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项

Cn12n，Cn12取得最大值．

n（3）各二项式系数和：

1∵(1x)n1CnxrrCnxxn，

rCnn

Cn012令x1，则2nCnCnCn二、讲解范例：

例1．

设1x1x1x当a0a1a2解：令x1得：

231xa0a1xa2x2nanxn，

an254时，求n的值

a0a1a2an222232(2n1)254，

221n∴2n128,n7，

点评：对于f(x)a0(xa)na1(xa)n1数的和a0a1a2和的关系

an，令xa1,即xa1可得各项系an的值；令xa1,即xa1，可得奇数项系数和与偶数项123例2．求证：Cn2Cn3CnnnCnn2n1．

n ①

nCn123证（法一）倒序相加：设SCn2Cn3Cnnn1n2又∵SnCn(n1)Cn(n2)Cnrnr0n1n1∵Cn，∴CnCnCn,CnCn,012由①+②得：2SnCnCnCn21

②

2CnCn， nCn，

∴S1123n2nn2n1，即Cn2Cn3Cn2nnCnn2n1．

（法二）：左边各组合数的通项为

rrrCnn!n(n1)!r1nCn1，

r!(nr)!(r1)!(nr)!n012nCnnCn1Cn1Cn2n1n1Cn． 1n2123∴

Cn2Cn3Cn

例3．已知：(x3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项

23解：令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n，

又展开式中二项式系数和为2，

∴22nn2n992，n5．

（1）∵n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，

23∴T3C5(x)(3x2)290x6，T4C5(x)(3x2)3270x，

233232223（2）设展开式中第r1项系数最大，则Tr1C(x)rrr1r1793C53C5r∴rr，∴r4，

r1r1223C53C5r5235r(3x)3Cx2rrr5104r3，

即展开式中第5项系数最大，T5C(x)(3x)405x452324263．

1n12n2n1例4．已知Sn2nCn2Cn2Cn21(nN)，

求证：当n为偶数时，Sn4n1能被64整除

分析：由二项式定理的逆用化简Sn，再把Sn4n1变形，化为含有因数64的多项式

1n12n2

∵Sn2nCn2Cn2nn1Cn21(21)n3n，

*∴Sn4n134n1，∵n为偶数，∴设n2k（kN），

k∴Sn4n138k1(81)8k1

2k1k1Ck08kCk80k1k1 (Ck8C88Ckk1818k1

Ck2)82

（）

， 当k=1时，Sn4n10显然能被64整除，

当k2时，（）式能被64整除，

所以，当n为偶数时，Sn4n1能被64整除

三、课堂练习：

1．x14x15展开式中x的系数为 ，各项系数之和为 ．

nCn(x1)n（n6）的展开式41232．多项式f(x)Cn(x1)Cn(x1)2Cn(x1)3中，x的系数为 3．若二项式(3x261n)（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（

）

32x A.4 B.5 C.6 D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （

）

A.低于5％ B.在5％～6％之间 C.在6％～8％之间 D.在8％以上

5．在(1x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1x2)n等于（

）

A.0 B.pq C.p2q2 D.p2q2

1a01a211a321a43CnCnCnCn6．求和：1a1a1a1a7．求证：当nN且n2时，32101an1n1Cn．

1annn1n2．

8．求2x的展开式中系数最大的项

答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：fxx1n6

n3. B 4. C 5. D 6. a1a7. (略) 8. T3115360x3

n1

四、小结

：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用

五、课后作业：

16212n1．已知(a1)展开式中的各项系数的和等于x的展开式的常数项，而5x5

(a21)n

展开式的系数的最大的项等于54，求a的值(aR)

答案：a3

2．设1x32xa0x1a1x1求：① a0a1591413a13x1a14

a14 ②a1a39a13．

9963

答案：①39319683； ②35201234567893．求值：2C9．

C92C9C92C9C92C9C92C9C98答案：2256

4．设f(x)(x2x1)9(2x1)6，试求f(x)的展开式中：

（1）所有项的系数和；

（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和

答案：（1）3729； 6361364；

（2）所有偶次项的系数和为2361365 所有奇次项的系数和为2六、板书设计（略）

七、课后记：