3.1 数系的扩充教案和学案内容

数系的扩充和复数的概念

江苏省邗江中学 洪妍

【教学目标】：

1. 知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念与复数相等的充要条件

2. 过程与方法：①通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. ②类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念

3. 情感、态度与价值观：①虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。②初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题。

【问题情境】：

问题1.把10分成两部分,使得两者的乘积等于10,这两部分分别为多少? 问题2.欧洲数学家卡丹1545年在所著《重要的艺术》中提出一个问题：把10分成两部分,使得两者的乘积等于40,这两部分分别为多少?

负数如何开平方？阅读材料，思考问题

数的发展过程：在人类社会初期，为了计数的需要产生了自然数。在自然数集中，小数不能减大数，如方程x+4=0无解，为此引入了负数，数集扩充到了整数集。在整数集中，除法只能解决整除的问题，如方程3x—2=0无解，为此引入分数，数集扩充到了有理数集。在有理数集中，开方的结果可能不是有理数，如方程x2—2=0无解，为此引入无理数，数集扩充到了实数集。从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，都是由于遇到了一些运算无法实施的问题，解决的方法都是在原来数集的基础上引入新数，并且在新的数集中，原有的运算性质仍然适用。

思考：你能提供一个解决负数开平方运算的方法来解方程x2+1=0吗？

【建构概念】：

1、为了使得负数可以开方，引入新数叫虚数单位，符号是 ，规定：

（1） = —1；

（2） 可以与 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。

2、我们把形如z= 的数叫做复数，复数集记作 ，

其中实部是 ，虚部是

3、实数，虚数，纯虚数、复数之间的关系：

实数（ ），

复数z=a+bi 虚数（ ）（当 时为纯虚数）

4、复数相等的充要条件：abicdi

【数学应用】：

例1：写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数

144，2-3i，0，i，52i，6i 23

例2：实数m取什么值时，复数zm(m1)(m1)i是

（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？

例3：已知（x+y）+（x—2y）i=（2x—5）+（3x+y）i，求实数x，y的值

【巩固拓展】：

1、①ZNQRC ②NZQRC

③ZNRQC ④RNZQC

上述结论中，正确的是 2、复数 (2x25x2)(x2x2)i为虚数,则实数 x 范围

1,2,(m23m1)(m25m6)i3、已知集合M= 集合P= ,求实数m的值

1,3MP3

4、已知x为实数,y是实数,且 , 2x1iy(3y)i求x,y的值

【回顾反思】：