信息技术应用 估计√2的值优秀教案设计

由递推公式求通项公式

湖北省建始县第一中学

龙德元

数列的概念及表示法在每年的高考中都有所体现，尤其是根据an与Sn的关系求an和由递推公式求通项公式，更是高考的热点．题目以能力立意为中心，注重以求数列通项为背景的新情境题目，常与函数、方程(不等式)、解析几何等知识交汇命题．

一、an＋1＝an＋f(n)型

把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n

－

1)．

11[例题1] 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋2，求an. 2n＋n1[规范解答]

由条件，知an＋1－an＝2＝n＋nn1n＋11＝－，则(a2－a1)＋(a3－a2)nn＋11111111－，

1－＋－＋－＋…＋＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝n－1n223341所以an－a1＝1－. n11131因为a1＝，所以an＝＋1－＝－. 22n2n二、an＋1＝f(n)an型

把原递推公式转化为an＋1a2a3＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由＝f(1)，＝ana1a2ananf(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝f(1)f(2)…f(n－1)．

a1an－12n[例题2] 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·a，求an. 3n＋1n[规范解答]

由an＋1＝an＋1nn·an，得＝，

ann＋1n＋1n－1n－2anan－1a21222故an＝··…··a1＝··…··＝. 即an＝. a1nn－1233n3nan－1an－2三、an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型

对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)，q比较系数可知t＝，可令an＋1＋t＝bn＋1换元即可转化为等比数列来解决．

p－1[例题3] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an. [规范解答]

设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．

bn＋1an＋1＋3令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2. bnan＋3所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．

所以bn＝4×2n1＝2n1，即an＝2n1－3. －＋＋四、an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型

(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得an＋1pan1＋＝·n＋，引入辅助数列qqn1qqanp1其中bn＝n，得bn＋1＝·{bn}b＋，再用待定系数法解决；

nqqq(2)也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得an＋1an1qn，引入辅助数列＋＝n＋·pppn1pan1q其中bn＝n，得bn＋1－bn＝n，再利用叠加法(逐差相加法)求解．

{bn}ppp1n＋151[例题4] 已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋2，求an. 631n＋112nn＋1n＋1[规范解答]

解法一：在an＋1＝an＋两边乘以2，得2·aan)＋1. ＋1＝(2·n2332令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，

32根据待定系数法，得bn＋1－3＝(bn－3)．

3542所以数列{bn－3}是以b1－3＝2×－3＝－为首项，以为公比的等比数列．

6332n42n－1bn1n1n所以bn－3＝－，即b＝3－2. 于是，a＝＝3－23. nn3332n21n＋11n＋1解法二：在an＋1＝an＋两边乘以3，得

233n＋1＋n3n＋1. 3n1an＋1＝3nan＋. 令b＝3·a，则b＋1＝bn＋nnn223n3n－1，…，b2－b1＝32. 所以bn－bn－1＝，b－1－bn－2＝n222将以上各式叠加，

33n－1＋3n. 又b1＝3a1＝3×5＝5＝1＋3，

得bn－b1＝2＋…＋2226223323n－1＋3n

所以bn＝1＋＋＋…＋2222＝1－3n＋11·231－23n＋1＝22－2，

3n＋1bn1n1n即bn＝2－2. 故a＝＝3－23. n23n2

五、an＋1＝Aan (A，B，C为常数)型

BanC

对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式．

33an[例题5] 已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，…求{an}的通项公式．

52an＋1[规范解答]

∵an＋1＝∴13an121，∴＝＋，

2an＋1an＋133an1112－1. 又－1＝，

－1＝3ana13an＋11211212∴a－1是以为首项，为公比的等比数列，∴－1＝·n－1＝n，

33an333n3n∴an＝n. 3＋2[方法总结]

上面的几种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人．

2014-10-22