1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计第一课时

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

【教学目标】

1.知识与技能：

通过对典型案例的探究,了解独立性检验的基本思想，方法及初步应用；

会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能解决实际问题；

会从列联表、柱形图、等高条形图直观分析两个分类变量是否有关。

2.过程与方法：

运用数形结合的方法，通过对典型案例的探究，通过设置问题，引导学生自主发现、归纳展示，从而实现教学目标。

3.情感、态度与价值观：

通过本节课学习，让学生体会统计方法在决策中的作用，让学生感受到数学与生活的联系；

自主探究的学习过程，使学生感受探索的乐趣及成功展示的成就感，培养学生学习数学知识的积极态度。

【教学重点】

了解独立性检验的基本思想及初步应用的步骤。

【教学难点】

独立性检验的基本思想；随机变量K的含义。

【教学过程】

2情境引入，提出问题

5月31日是世界无烟日。有关研究表明，许多疾病与吸烟有关。这些疾病与吸烟有关的结论是如何得出的，又有“多大把握”认为这些结论是正确的，这就是我们这节课要探究的问题。要探究这些问题，我们要先了解独立性检验的基本思想及其初步应用。

一、有关概念

1. 分类变量——变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。

分类变量也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值

如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等.生活中，我们更关心分类变量之间是否有关。下面，我们来学习判断两个分类变量是否有关的第一个方法：

不患肺癌

患肺癌

总计

42 49 91 7817 2148 9965 不吸烟

7775 吸烟

总计

2099 9874 这个表格，是为了调查吸烟是否对患肺癌有影响的一个调查表，那么在这里“是否吸烟”和“是否患肺癌”都是分类变量，而且这个表格中还给出了分类变量的频数。

这个表格在统计学中又称之为列联表。

2.列联表——像表中这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表。

在高中阶段我们只研究像下表中这样的2×2列联表

观察：

不患肺癌

患肺癌

总计

42 49 91 7817 2148 9965 不吸烟

7775 吸烟

总计

2099 9874 （2×2列联表）

问题：表格中的数据能告诉我们什么结论？

（1）在不吸烟者中患肺癌的比例是多少？ （2）在吸烟者中患肺癌的比例又是多少？ 你的结论是：

吸烟者患肺癌的比例比不吸烟者患肺癌的比例高。

吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.

除了列联表，如果把这组数据放到图表中，也能直观的感受到它们的差异。

方法二：等高条形图

从这个等高条形图中，我们更直观地看出吸烟者中患肺癌的比例与不吸烟者中患肺癌的比例有明显差异，从而说明吸烟与患肺癌很有可能是有关系的。

但是，这种判断可靠吗？你又有多大把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？这就需要我们

2 100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌

来学习一种新的统计方法，叫做独立性检验。

这也是本节课我们重点要学习的内容。

二、独立性检验的思想

1、思想

我们知道上面例子表中的数据是从某次调查中随机抽样得来的，带有随机性，为了使统计数据更具一般性，更有说服力，我们把表中数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表： 吸烟与患肺癌列联表

不吸烟

吸烟

总计

现在，假设H0:吸烟与患肺癌没有关系

则不患肺癌

a c a+c 患肺癌

b d b+d 总计

a+b c+d a+b+c+d bd

（为什么？）

abcd b(cd)d(ab)

bcbdadbd

bcad

bcad0或adbc0

即

bcad0

因此，adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，统计学中构造一个随n(adbc)2机变量 K

，

其中nabcd为样本容量。

(ab)(cd)(ac)(bd)2显然K的大小变化与adbc是同步的。

也就是说，K

越小，|ad-bc|也越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；K

越大，|ad-bc|也越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 那么上面例子，在H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”的条件下K应该很小

3 2222

把表中的数据代入K公式，计算得到K的观测值为

229965(777549422099)2k56.632 78172148987491思考：这个值是大还是小？是以什么作为评价标准？

这里我们需要借助统计学的有关数据，统计学家经过研究后发现，在假设H0成立的情况下，P(K26.635)0.01 (如何理解？)

即在H0成立的情况下，K的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件，也就是说H0这个假设是几乎不可能发生的。

“H0发生”(即吸烟与患肺癌没有关系)的概率是0.01，而“H0不发生”(即吸烟与患肺癌有关系)的概率是0.99 因此，我们可以有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系。

这个99%就是我们课前提到的一个“多大把握”，这个“多大把握”会因事先给定的临界值（评价标准）不同而有所不同。经过统计学家多年的研究，总结得出如下临界值表：（如何查表？）

2P(K2k0)

0.50 k0

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 解：假设H0：吸烟与患肺癌没有关系

K2的观测值为

9965(777549422099)2k56.632

78172148987491）0.01

根据临界值表可知P（K6.635而56.632远大于6.635，所以有理由判断H0不成立，

即有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系。

像这样，利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。这

4 22

个检验过程就是独立性检验的思想。

2、步骤归纳：

（1）写出2×2列联表，确定临界值k0；（k0可事先给定或默认值2.706）

（2）利用公式计算K的观测值k；

（3）查临界值表，比较k与k0的大小得出结论。

2三、独立性检验思想的初步应用

例1．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系。能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？

解：根据题目所给数据得到如下列联表：

依题意查表可得临界值k0=6.635 根据联表中的数据，得到

秃顶

不秃顶

总计

患心脏病

不患心脏病

214 451 665 175 597 772 总计

389 1048 1437

1437(214597175451)2K16.3736.635.3891048665772

2 因此，在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“秃顶与患心脏病”有关系，

即有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”。

例2．

为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：

男

女

总计

喜欢数学课程

37 35 72 不喜欢数学课程

85 143 228 总计

122 178 300

5

由表中数据计算K2的观测值k≈4.513。在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？

解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间的关系”的前提下K2应该很小，并且

P（K>=3.841）=0.05 而K的观测值k≈4.513超过3.841，这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间的关系”这一结论错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。

22练习1. 1、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）

A、若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99个患肺病

B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病

C、若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推理出现错误

D、以上三种说法都不对

练习2.见课本

四、课堂小结

1、理解分类变量，会作列联表及等高条形图

2、了解独立性检验的思想,并掌握步骤方法

五、板书设计

独立性检验的思想及其初步应用

问题1：这些结论是怎样得出的呢？

问题2：你有“多大把握”认为这些结论是正确的？

一、有关概念 假设H0：吸烟与患肺癌没有关系 例1、

1、分类变量 则bd 解：假设H0：

abcd2、列联表 b(cd)d(ab) 根据已知…

二、独立性检验的思想 bcbdadbd

1、思想 bcad

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2、步骤 bcad0或adbc0

即

bcad0

n(adbc)2 K

(ab)(cd)(ac)(bd)2 P(K26.635)0.01

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