探究与发现 组合数的两个性质名师教学设计

组合数的两个性质

一、教学目标：

知识与技能：

（1）理解组合数的两个性质的意义；

（2）了解组合数的两个性质的实际背脊，会应用两个性质进行运算. 过程与方法:

通过探索组合的两个性质，加深学生对两个性质的理解，能够运用公式解决一些简单的应用问题.

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：掌握组合数的两个性质

难点：组合数的两个性质的探究

三、

教学过程

（一）问题引入

问题一：

（1）从a,b,c,d4个元素中每次取出3个元素组成一组，共有多少种不同的结果？

（2）从a,b,c,d4个元素中每次取出1个元素，有多少种不同取法？

（3）前两题的结果有何关系？这一关系是一种必然还是偶然？为什么？

事实上，从4个元素中取出3个元素后，还剩下1个元素．就是说，从4个元素中每次取出3个元素的一个组合，与剩下的（4－3）个元素的组合是一一对应的．

因此，从4个元素中取出3个元素的组合数，与从这4个元素中取出（4－3）个元素的组合数是相等的.

1

问题二：

mnmm由问题1的解决，猜想Cn与Cn

的关系，并分别从

Cn 的含义与计算公式加以证明. 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n－m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的（n－m）个元素的每一个组合一一对应. 所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n－m个元素的组mnm合数，即Cn

Cnmnm

组合数的性质1：Cn

Cnnm证明：∵Cnn!n!mnmn!m又

Cn，∴CnCn(nm)![n(nm)]!m!(nm)!m!(nm)![来源:Zxxk.Com]

0说明：①规定：Cn1；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；

x③CnCnyxy或xyn．

例1、有试题20道，从中选答18道共有几种选法？

1798例2、计算：1）C20 2）C100

17n3n计算CC.

2n13n的值例3、问题三：

一个口袋内有大小相同的7个白球和1个黑球

（1）从口袋中取3个球，使其中含有1个黑球，有多少 种取法？

（2）从口袋中取3个球，使其中不含有黑球，有多少 种取法？

（3）从口袋中取3个球，有多少

种取法？

问题四：

一个口袋内装有n个大小相同但标有不同号码的白球和一个黑球

(1) 从口袋内取出m个球，共有多少

种取法.

2

(2) 从口袋内取出m个球，使其中含有1个黑球，共有多少种取法. (3) 从口袋内取出m个球，使其中不含有黑球，共有多少种取法. (4) 上面(1)(2)(3)三种情况的结果有何种关系？并加以证明. m一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,,an1这nm1个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从a2,a3,,an1m这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．

mmm1组合数的性质2：Cn．

1＝Cn+Cn

课堂小结：本节课学习了组合数的两个性质

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