1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用ppt配套的教学设计方案

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

一、教学目标

1.理解分类变量的含义；会根据收集的数据列出2×2列联表，并会阅读三维柱形图和二维条形图，并粗略判断两个分类变量是否有关系；

2.理解假设检验思想及实施步骤，会利用独立性检验精确判断两个分类变量是否有关系；

二、教学重难点

教学重点：理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤. 教学难点：1、理解独立性检验的基本思想；2、了解随机变量K的含义；

3、确定根据收集的数据列出2×2列联表

三、教学过程

1、自主学习：预习课本P91～96，思考并完成以下问题：1．分类变量与列联表分别是如何定义的？

2．独立性检验的基本思想是怎样的？

3．独立性检验的常用方法有哪些？

2．明确与列联表相关的概念：

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表：①列出的两个分类变量的频数表，

称为列联表．

②一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

2在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0, 因此|ad－bc|越小，

关系越弱；

|ad－bc|越大，关系越强．

3．等高条形图：

等高条形图与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，

常用等高条形图展示列表数据的频率特征．

4．独立性检验的基本思想：（公式推导略，见课件）

(1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

(2)公式：K＝2a＋bnad－bc2c＋da＋c2b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

n(adbc)2独立性检验的基本思想：利用随机变量K (其中n＝a＋b＋c＋d为样(ab)(cd)(ac)(bd)

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本容量)，来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．

独立性检验的基本思想类似于反证法．要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小．如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理．根据随机变量K2的含义，可以通过概率P(K2≥k)的大小来评价该假设不合理的程度有多大，从而说明这“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度有多大．

四、合作探究活动

1、【探究1】等高条形图的应用

①[典例1]为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：

组别

铅中毒病人

对照组

总计

阳性数

29

9

38

阴性数

7

28

35

总计

36 37 73 试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？

[解]

等高条形图如图所示：

其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．

由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．

a归纳总结：在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例，也a＋bc可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例．两个比例的值相差越大，X与Y有关c＋d系成立的可能性就越大．

②[练习1]某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．

解：作列联表如下：

考前心情紧张

考前心情不紧张

总计

2 2 性格内向

332

94

426

性格外向

213

381

594

总计

545 475 1 020

相应的等高条形图如图所示：

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．

2、【探究2】两个变量的独立性检验

①[典例2]

为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．能否在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”？

[解]

根据题目所给的数据得到如下列联表：

有兴趣

无兴趣

总计

理科

138

98

236

2文科

73

52

125

总计

211 150 361 －211×150×236×1252根据列联表中数据由公式计算得随机变量K的观测值k＝因为1．871×104<2．706，

－≈1．871×104．

－所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下，不能认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”．

归纳总结：独立性检验的步骤

(1)确定分类变量，获取样本频数，得到列联表．

(2)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0．

n(adbc)2(3)利用公式K计算随机变量K2的观测值k0．

(ab)(cd)(ac)(bd)2(4)作出判断：如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y的关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

②[练习2]在对人们的休闲方式的一次调查中，

共调查了124人，

其中女性70人，

男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，

另外27人主要的休闲方式是运动；

男性中有21人主要的休闲方式是看电视，

另外33人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；

并估计，

以运动为主的休闲方式的人的比例；

(2)能否在犯错误的概率不超过0．025的前提下，

认为性别与休闲方式有关系？

n(ad－bc)2附表：K＝．

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)2P(K2≥0．50

0．40

0．25

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001

3 3

k0)

k0

0．455

0．708

1．323

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828 解：(1)由所给的数据得到列联表

休闲方式

性别

女

男

总计

所以以运动为主要的休闲方式的人的比例为15∶31．

(2)根据列联表中的数据计算得随机变量K2的观测值，

k＝－70×54×64×602看电视

43

21

64

运动

27

33

60

总计

70 54 124 ≈6．201，因为k>5．024，

所以在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为休闲方式与性别有关．

3【探究3】独立性检验的综合应用

①[典例3]

某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

[解]

由已知数据得

成绩优秀

成绩不优秀

总计

甲班

1

19

20

乙班

5

15

20

总计

6 34 40 根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值

k＝－6×34×20×202≈3．137，

由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

4 4

归纳总结：(1)独立性检验问题是常与统计、概率相结合，解题时一定要认真审题，找出各数据的联系．

(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．

②[练习3]

某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：

本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？

n(adbc)2附：（K,其中nabcd）

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

③[练习4] 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，并用简单抽样方法抽取了100名学生（男生55名，女45名）对其课外阅读时间进行调查，抽查结果用等高条形图表示如下，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”。

（Ⅰ）请根据等高条形图判断，“读书迷”是否与性别有关? 并估计该校3000名学生中有多少读书迷.

（Ⅱ）根据根据以上统计数据,你有多大的把握认为“读书迷”与性别有关？

（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的学生的课外阅读时间？说明理由.

n(adbc)2

附：（K,其中nabcd）

(ab)(cd)(ac)(bd)2

5 5

P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）根据等高条形图可知，该校男生中有

5533的男生是读书迷，女生中有是读书迷，明显大于，99111135故判断“读书迷”是否与性别有关求。因为抽取的100名学生中读书迷有：554540，所以估119401200名读书迷。计该校3000名学生中有3000100

（2）根据统计数据有22列联表如下表所示

非读书迷

读书迷

合计

100(40251520)28.2497.879

因为K604055452男

女

合计

40 20 60 15 25 40 55 45 100

所以有99.5%的把握认为“读书迷”与性别有关.

(3)由（2）的结论知，该地区“读书迷”与性别有关，从等高条形图能看出该地区男生与女生为读书迷的比例差异明显，因此在调查时，先确定该地区学生的男女比例，再把学生分成男、女两层并采用进行分层抽样方法比简单随机抽样方法更好.

五、小结

1．利用数形结合的思想，借助等高条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量相关的常见方法之一．一般地，在等高条形图中，ac与相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大．在作等高条形图时a＋bc＋d可以用列联表来寻找相关数据，作图要精确，且易于观察，以便对结论的判断不出现偏差．

2．解决一般的独立性检验问题的步骤：

(1)通过列联表确定a，b，c，d，n的值；根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

n(adbc)2(2)利用K求出K2的观测值k；

(ab)(cd)(ac)(bd)2(3)如果k≥k0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“两个分类变量有关系”．

六、作业：课本及配套练习

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