三 反证法与放缩法教学设计(第二课时)

利川市第五中学高二年级数学学科集体备课教案

第____次教案

课 题

主备课人

______班第_____周星期_______第_______节课

授课时间

______班第_____周星期_______第_______节课

课 型

教学目标

过

程

与

方

法

教学方法

教 具

2.2.2

反证法

审核人

课时数

知

识

与

技

能

了解反证法是间接证明的一种基本方法.

情感、态度与价值观

理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.

学情分析

教学重点

教学难点

重点：1.反证法的含义、思考过程、特点.

2.用反证法解决数学问题.

难点：1.反证法中假设的方法.

2.用反证法解决、证明数学问题.

教学过程设计（含学法指导内容）

教师教 学 内 容

活动

活动

备课

[自主梳理] 反证法

1．反证法

假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作反证法．

2．反证法常见矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾或假设矛学生

二次

1

盾或与定义、定理、公理、事实矛盾等．

[双基自测] 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用(

) ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．

A．①②

C．①②③

B．②③

D．①②④

2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是(

) A．三个内角中至少有一个钝角

B．三个内角中至少有两个钝角

C．三个内角都不是钝角

D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角

3．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是(

) A．a，b都能被5整除

C．a不能被5整除

B．a，b都不能被5整除

D．a，b有1个不能被5整除

4．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．

探究一

用反证法证明否定性命题

[典例1]

设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：f(x)＝0无整数根．

x－21．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．

x＋1

2

探究二

用反证法证明“至多”“至少”类问题

[典例2]

已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证见的“结论词”与“反设词”如下：

结论词

至少有一个

反设词

一个也没有

结论词

反设词

对所有x成存在某个x0不立

成立

至多有一个

至少有n个

至多有n个

至少有两个

至多有n－1个

至少有n＋1个

对任意x不存在某个x0成成立

p或q p且q 立

綈p且綈q

綈p或綈q

2．若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：

1＋x1＋y<2与<2中至少有一个成立．

yx

探究三

用反证法证明唯一性命题

[典例3]

求证：两条相交直线有且只有一个交点．

3

3．求证过一点只有一条直线与已知平面垂直．

反证法中因反设不全而致误

[典例]

用反证法证明：若a＞b＞0，则a＞b. [证明]

假设a＞b不成立，则a≤b. 若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾；

若a＝b，则a＝b，与已知a＞b矛盾．

故假设不成立．

所以a＞b成立．

[错因与防范]

(1)a＞b的否定应为a≤b，即“大于”的否定是“小于或等于”．同理，“小于”的否定是“大于或等于”，不能漏掉“等于”．因此在用反证法证明时，一定要正确地找出结论的否定，不能犯否定不全的错误．

(2)利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．但在否定结论时应否定全面，并逐一论证，缺少任何一种情况，证明都是不全面的.

1．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(

) A．三个内角都不大于60°

B．三个内角都大于60°

4

C．三个内角至多有一个大于60°

D．三个内角至多有两个大于60°

2．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(

) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．

板书设计

作业布置

教学反思

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