实习作业教学设计及教案分析

芜湖市第十二中学

人教A版高中数学

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

2018年芜湖市“数学图形计算器”辅助教学观摩与研讨活动教学设计

独立性检验的基本思想及其初步应用

人教A版高中数学

芜湖市第十二中学

授课人：王春健

授课班级：高二（2）班

时间：2018年4月19日

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《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

芜湖市第十二中学

王春健

一、教学内容解析

本节内容是人教A版数学选修2-3第三章统计案例的第二节，是在学习了回归分析的基本思想及其初步应用的知识后，对统计案例的再学习，它可以看作是与前面学习过的相关关系的并列知识，是统计案例的另一类体现，也是高中数学知识中体现统计思想的重要课节.在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法.在讨论两个分类变量关系时，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，使学生初步掌握独立性检验的基本步骤，体会独立性检验的基本思想.独立性检验的步骤是相对固定的，仿照教科书的例题，学生不难完成书后的习题，但独立性检验的统计思想对学生来说是比较难理解的，所以在教学中结合实例介绍独立性检验的思想是十分重要的，也是对逻辑思维能力、数学建模能力等中学数学核心素养培养的有效章节. 二、学生学情分析

学生在高中阶段已经接触过统计原理、回归分析，会对两个分类变量进行线性拟合，高中教材在本节课教学之前安排了回归分析的基本思想及其初步应用的学习，学生对统计思想已有初步了解，以此为新知识的生长点，建立起关于“统计、检验”二者之间的逻辑联系.学生学习积累中具备一定的观察、辨析、反思推理和归纳类比等学习能力.本节课会注重运用实例和相关知识完成教学，注重对逻辑思维能力、数学建模能力等中学数学核心素养的培养，提高学生对数学学习的兴趣，并引导学生发现问题、探索方法、解决问题. 三、教学环境分析

统计的问题，需要数据的计算与分析，往往会涉及到大量的数据分析和繁复的计算，具体来说两个分类变量函数关系的拟合、独立性检验的计算，学生自己处理起来都会有很大的困难，借助“数学图形计算器”就为学生自行探究统计学实例、学习统计学知识提供了很大的帮助.学生四人为一组，合作讨论，对实例和所学知识进行探究.同时，独立性检验中构造的随机变量K2公式的推导限于课堂的时间，并未进行推导，借助互联网+，留作选做的作业，给学有余力的同学自学. 四、教学策略分析

本节课重点培养中学数学核心素养中的数学建模和逻辑思维能力，在坚持“学生是教学的主体”的教学理念下，通过情境教学、问题引领、启发引导、合作探究，先引出问题：到底多大的把握说他们是相关的呢？再引出相应的知识点，分析得出公式，讨论公式的使用方法，从而介绍独立性检验的基本思想、方法和初步应用.然后剖析需要解决的问题，培养学生的良好的逻辑思维能力.在例题及探究实验中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，最后让学生自己设计方法解决课堂伊始的疑问，提升学生的数学建模思想和能力，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力.过程中注重对学生的思维训练，提升学生自主学习、自主探究的能力，调动学生的积极性. 教学工具:TI数学图形计算器

五、教学目标设置

1.知识技能：通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题. 2.数学思考：通过本节课的学习，让学生学会以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.通过对问题的自主探究和设计实验，提高学生思考问题的能力，让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性. 3.问题解决：在独立性检验的基本思想的教授中，培养学生的推理能力和逻辑思维能力.在实际例子中采用分小组合作探究的方法，利用“数学图形计算器”的拟合和计算功能让学生经历由实际问题建立数

2

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学模型的过程，在问题的解决过程中体会数学建模的思想. 4.情感态度：培养学生对于运用数学、建立模型解决实际问题的能力，在学习中体会数学学习的作用，培养数学学习的兴趣.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性. 六、教学重、难点分析

教学重点：通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤. 教学难点：独立性检验的基本思想的理解，严谨的思维能力的培养. 七、教学流程分析

用数学图形计算器拟合函数，发现问题（相关性和把握的具体大小）

八、教学过程分析

给出独立性检验的思想和方法

总结方法和步骤，练习巩固，并利用所学知识，核实自己的猜想并验证

教学环节

创设

情境

引入

新课

教

学

步

骤

一、情境引入

给出芜湖市镜湖区2016年某校的体检数据，在视力这一项中，你觉得左右眼视力会相关吗？相关性强吗？我们经常看到一些戴眼镜的小胖子，那么肥胖和视力相关吗？相关性强吗？

那么相关性到底怎么确定强与弱呢？到底有多大的把握说明他们有关呢？

二、发现问题

提出问题：少抽点烟，小心得肺癌这句话有道理吗？

为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）根据调查结果，是否能够以99%的把握认为吸烟和患肺癌有关呢？

吸烟与患肺癌列联表：

教学活动

设计意图

从实例出发，增强学生的兴趣和课堂参与度.

通过实例，让学生能发现事物之间的关联性.顺利实现由“已有的生活实例”转入“新知构建”的过程.

用“已有的知识结构”帮助“新知构建”的过程.

教师引导学生探索、回答. 发现

问题

寻找

方法

学生能知道二者之间的关联，

不患肺癌

患肺癌

总计

并引发对到底7775 42 7817 不吸烟

有多大关联、用2099 49 2148 吸烟

什么样的量去9874 91 9965 总计

衡量的思考. 我们可以怎么判断两个分类变量的关联性呢？吸烟是否对患肺癌

有影响呢？

42计算比例不难发现：在不吸烟者中，有

≈0.54％的人患肺癌；7817

49发现在吸烟的人中，有

≈2.28％的人患肺癌.直观上可以得出结学生计算，2148关联

论：吸烟者和不吸烟者患癌症的可能性存在差异.

我们也可以通过图形直观判断两个分类变量是否相关：

三种图示各有所长

3

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教学环节

教

学

步

骤

三维柱状图可以清晰地看出各个频数的相对大小；

二维条形图可以看出，吸烟者中患癌症的比例高于不吸烟者中患癌症的比例；

等高条形图可以看出吸烟者中患癌症的百分比高于不吸烟者中患癌症的百分比；

通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患癌症有关”，那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟和患癌症有关”呢？

三、解决问题

为了回答上述问题，我们先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系. 吸烟与患肺癌列联表：

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

ab

b

a

吸烟

d

cd

c

总计

bd

abcd

ac

把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：

如果吸烟与患肺癌没有关系,那么吸烟与否的人群中患癌症应该教学活动

设计意图

教师对比例计算和三种图示进行讲解，引导学生思考如何才能以一定的把握认为“吸烟和患癌症有关”呢？

显然已有的方法不足够解释相关性，引出独立性检验的具体方法，激发学生对探究学习解决未知问题的方法的兴趣.

从基本事实入手，引导学生思考、探索、发现解决问题的方法和规律.

字母运算，培养学生从特殊到一般的探究能力.

介绍公式的形式，并点出公式的来源和大致的推导方法，以帮助学生全面认识和了解公式.

学生通过图形计算器计算出的结果是带有概率值的，教师引导学生思考这个概率值怎么来的？实际操作中，我们可以怎么使用，又有bd，即adbc0.adbc越小，abcd说明吸烟与患癌症之间的关系越弱；adbc越大，说明吸烟与是近似相等的，则学习

新知

解决

问题

患癌症之间的关系越强. 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2，其中nabcd为样本容量. K(ab)(cd)(ac)(bd)2若H0：吸烟与患肺癌没有关系成立，则K应该很小. 由公式计算得到K的观测值为

229965(777549422099)2k56.632

78172148987491可以根据临界值表判断

P(K2≥k0)

k0

P(K2≥k0)

k0

0.50 0.40 0.25 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.828 0.455 0.708 1.323 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 2可以发现，借助于随机变量K的观测值k，在H0成立的情况下，P(K26.635)0.010，即在H0成立的情况下，K2的观测值大于6.635的概率非常小，近似于0.010，是一个小概率事件.假设下小概率事件不该发生，若发生了，就有理由判断H0不成立.

4

引出列联表，让学生感知它的简洁.

引导学生发现规律，如果两个分类变量没有关联，那么应该满足什么条件?如果假设是错误的又会怎样.

教师介绍，根据研究的需要构造一个随机变量，并说明公式的形式.

学生借助数学图形计算器计算K2观测值k的大小，并思考概率值的问题.

教师引导学生发现规律，并总结规律.

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教学环节

教

学

步

骤

教学活动

设计意图

什么理论依据. 鼓励学生思考，总结，培养逻辑思维能力.

鼓励学生全程参与定义和总结，让他们自己总结解决问题的思路和方法，突出学生的主体地位，让学生在学习中感受到探索与发现的乐趣，同时培养缜密总结的好习惯.

思想和原理上，教师高屋建瓴地给出总结，引导学生在今后的学习中使用相关方法和原理. 提炼

归纳

深入

学习

在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不

会超过P(K26.635)0.010，即有99%的把握认为H0不成

教师引导、鼓励立，即能够以99%的把握认为吸烟和患肺癌有关. 也就是说若k≥k0，可以得到“两个分类变量之间没有关系”的概学生分组讨论，率P(K2≥k0),也就可以得到有(1-P(K2≥k0) ) ×100%的把握认为“两大胆总结规律. 个分类变量之间有关系”.（同理，把k< k0解释为不能以

2(1-P(K≥k0) ) ×100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”）

四、提炼归纳

2独立性检验定义：这种利用随机变量K来判断“两个分类

变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验.

独立性检验的步骤: 教师给出定义

一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为x1,x2

和y1,y2.

第一步:列出22列联表;

y1 y2

总计

a

ab

b

x1

c

d

cd

x2

ac

bd

abcd

总计

2n(ad-bc)2学生分组讨论，第二步:计算K; (ab)(cd)(ac)(bd)总结一般规律. 第三步:查对临界值表，作出判断

具体来说的思路是：

(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”. 鼓励学生思考、(2)利用公式，由观测数据计算得到随机变量K2的观测值k.（在总结、发言，培此假设下随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观养大胆猜想，缜测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.）

密论证的科学(3)根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0态度. (4)若k≥k0，可以得到“两个分类变量之间没有关系”的概率为

P(K2≥k0),也就可以得到有(1-P(K2≥k0) ) ×100%的把握认为“两个

分类变量之间有关系”.（同理，把k< k0解释为不能以

(1-P(K2≥k0) ) ×100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”）

教师给出思想方法和基本原方法和原理方面：反证法原理与假设检验原理

反证法原理：

在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了理方面的总结.

这个假设不成立. 假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小

概率事件发生，就推断这个假设不成立.

五、学以致用

2例1．对分类变量X与Y的随机变量K的观测值k，说法正确的

是(

) 学生快速自主A．k越大，“

X与Y有关系”可信程度越小

完成基本题型B．k越小，“

X与Y有关系”可信程度越小

的训练，教师及C．k越接近于0，“X与Y无关”程度越小

时进行反馈. D．k越大，“X与Y无关”程度越大

例2.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，

对学生的基本知识构建进行检测.

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教学环节

实际

操作

学以

致用

教

学

步

骤

得到如下的列联表：

男

爱好

40

不爱好

总计

2教学活动

设计意图

学生动手计算，并根据已学知识完成例题，巩固已学内容.

教师引导，学生自主探究，并借助数学图形计算器得到结论，再通过实际生活解释自己得到的结论. 教师引导学生小结

考查学生对基本方法和规律是否掌握.

计算能力是基本的数学素养，要重视计算能力的培养，督促、鼓励学生练习.

培养学生发现并解决问题的数学建模能力和信心，以及学以致用、作探究的精神.

引导学生归纳总结

通过灵活的分层作业题，满足不同层次学生需要，符合因材施教原则.从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和提高数学能力的效果. 女

20

30

50

总计

60

50

110

20

60

n(adbc)2

K(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2≥k0) k0

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828

参照附表，得到的正确结论是(

)

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为

“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为

“爱好该项运动与性别无关”

六、动手实验

你借助数学图形计算器处理数据发现青少年近视和肥胖之间有关吗？能有多大的把握说明两组数据之间有关？之前我们使用的体重数据能合理地反映一个人的胖瘦吗？如果有关，又会是什么原因呢？验证并讨论你的想法.

分析

讨论

动手

实验

课堂

小结

深化

提升

七、课堂小结：

1、本节课学习的知识及其使用步骤：独立性检验

2、本节课学习的思想：反证法原理与假设检验原理

八、布置作业：

必做题：课本

习题2.3 A组 1.2. 选做题：学有余力的同学自学生物统计学的《卡方检验与列联表》中2×2列联表的部分，并尝试使用概率知识推导随机变量

n(adbc)2公式. K(ab)(cd)(ac)(bd)2分层

作业

巩固

提高

（https://wenku.baidu.com/view/8502f97376a20029bc642d20 https://wenku.baidu.com/view/89b96a2aa9956bec0975f46527d3240c8447a1f8.html）研究性学习：

试分析视力与什么因素有关，具体的成因是什么，并撰写研究性学习报告

布置作业

九、板书媒体设计

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独立性检验的基本思想及其初步应用

分类变量

列联表

【多媒体展示】

独立性检验

独立性检验的步骤与思路

十、总体设计说明

《独立性检验的基本思想及其初步应用》这一节，首要的任务是让学生了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，在这个基础上要注重两个核心素养的培养，一是逻辑思维能力的培养，二是数学建模思想的树立.在教学中要引导学生积极思想，大胆发言，跟着老师去想，同时在实例中大胆做出自己的构想并去验证.同时教学中有两个困难，一是独立性检验的思想和其中蕴含的反证法原理和假设检验原理，思想和原理并不简单，直接讲解不容易懂，而且学生容易失去兴趣，被动接受.我设计了从身边的体检数据入手，激发学生解决问题的欲望，带着问题学，已学的拟合知识可以让学生借助TI数学图形计算器发现相关性，但却并不知道有多大的把握说二者有关，因此我们引2入独立性检验，构造随机变量K.第二个困难是数据的计算和处理，要么给出结果生硬，要么动笔计算耗时，显然TI数学图形计算器帮我们解决了难题，并能给出假设成立的概率，也让学生能核实一下自己所学，并给学生自己设计实验，自行动手操作提供了可能.相信如果能让学生带着兴趣去学，真正动手动脑、思考确认，数学的教学一定能更加高效.

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